Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 14 из 16)
Найдем дискриминант полученного приведенного квадратного уравнения
, значит, при любом действительном значении 
уравнение имеет два различных действительных корня: 
и 
.Выясним, входят ли они в промежуток
. Корень лежит в этой области только тогда, когда выполняется неравенство: 
или 
.Последнее неравенство равносильно системе неравенств:
Последняя система неравенств не имеет решений, значит, ни при каком значении параметра a число
не лежит в области .Корень
лежит в рассматриваемой области тогда, когда выполнено неравенство: 
или 
.Решим последнее неравенство. Ясно, что этому неравенству удовлетворяют все значения
из промежутка 
.При
получим неравенство 
. Отсюда находим: 
.Таким образом, при
уравнение имеет единственное решение .2) Пусть
. На этом промежутке 
и поэтому исходное уравнение можно переписать в виде 
. Найдем дискриминант этого уравнения: 
.Уравнение не имеет решений, если
, т. е. если 
.Значит, уравнение не имеет корней для
из промежутка 
.Если
не принадлежат этому промежутку, то квадратное уравнение имеет корни 
, 
, причем 
при 
и 
. Выясним теперь, при каких значениях параметра найденные корни лежат в области .Для этого нужно решить неравенства
и 
.Неравенство
равносильно неравенству 
или совокупности двух систем неравенств: 
Множество решений первой системы имеет вид
, вторая система не имеет решений. Значит, только при значении корень уравнения 
лежит в области 
Неравенство
равносильно неравенству 
или системе неравенств 
Множество решений полученной системы неравенств есть отрезок
.Только при этих значениях параметра
, корень 
принадлежит области: . Таким образом, при 
данное уравнение в области решений не имеет.Если
, то уравнение в рассматриваемой области имеет единственное решение 
.При значениях
, лежащих в области 
исходное уравнение имеет два различных корня и . Если же 
, то исходное уравнение имеет единственный корень . Полученные результаты удобно свести в таблицу: 
Таким образом, искомые значения
образуют два промежутка: и .Ответ.
, .Пример Найти все корни уравнения 
, удовлетворяющее неравенству 
.
Решение. Строим графики функций
и 
. Получим две точки пересечения, абсцисса только одной из них меньше 
, т. е. удовлетворяет условию задачи (см. рис. ).pics/ex14.eps
Абсциссу точки можно получить решив уравнение
.Ответ.
.Пример Решить аналитически и графически уравнение
Аналитическое решение
Преобразуем уравнение, умножив обе его части на 2, будучи положительным числом, его можно вносить под знак модуля, поэтому получим:
У каждого из трехчленов положительные дискриминанты. Это дает возможность разложить каждый из них на линейные множители.
Уравнение примет вид:
.На числовой прямой отложим точки, в которых каждый из множителей обращается в нуль. В результате получим пять промежутков, на каждом из которых определим знаки трехчленов под модулем и решим полученные уравнения.
Однако такой способ не будет рациональным. Целесообразнее изобразить промежутки знакопостоянства каждого из трехчленов на числовых осях. Тогда определение их знаков будет упрощено и сделается более наглядным (см. рис. ).