Смекни!
smekni.com

Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 15 из 16)

pics/ex9.eps

При таком схематическом изображении понятно, что:

1) при

оба трехчлена положительны и уравнение примет вид:

Решая его, находим

,
. Оба корня не входят в промежуток
и являются посторонними;

2) при

первый трехчлен отрицателен, а второй положителен, получим уравнение:
откуда находим корень
, который входит в промежуток
и является решением уравнения;

3) при

оба трехчлена отрицательны, получаем:

, откуда
, который входит в промежуток
и является решением уравнения;

4) при

первый трехчлен положителен, второй --- отрицателен, получаем уравнение:

, отсюда
, который входит в промежуток
и является решением уравнения;

5) при

оба трехчлена положительны, получается такая же ситуация, как и в первом случае. И здесь, оба корня
,
не входят в промежуток и являются посторонними.

Ответ.

,
,
.

Графическое решение

Для графического решения преобразуем уравнение:

Построим графики функций

и

График функции

будем строить в несколько этапов:

а) строим график функции

;

б) строим график функции

, ``зеркально'' отразив нижнюю часть кривой
в оси
;

в) строим график функции

для этого достаточно график функции
``опустить'' вниз (осуществить параллельный перенос вдоль оси
) на
;

г) полученный график полностью симметрично отразим в оси

, ``перевернем'' вокруг оси
на
.

В результате получим график функции

.

График функции

построим уже известным способом: строим параболу
и зеркально отражаем в оси
только часть параболы, находящуюся ниже оси
.

Находим абсциссы точек пересечения графиков, которые и будут являться решениями уравнения (см. рис. ).

pics/ex10.eps

Абсциссы точек пересечения следующие: 1,75; 2,5 и 3,25. Они и будут решениями уравнения.

Пример Решите уравнение

.

Решение. Решать будем это уравнение последовательно ``раскрывая'' модули, начиная с ``внешнего'' и ``приближаясь'' к переменной

.

После раскрытия первого модуля, получим совокупность двух уравнений:

(1)

или (2)
.

Решая уравнение (1), в свою очередь, получаем два уравнения:

,

(3)

или (4)
.

Из уравнения (3) находим:

,
из уравнения (4) находим:
,

Решая уравнение (2), также получим:

, которое распадается два уравнения:

(

)
или (
)
.

Из (

) получаем:
,
,
Из (
)
, которое не имеет решений.

Ответ.

Пример Решить уравнение:

Решение. ОДЗ данного уравнения:

Простой проверкой нетрудно убедиться, что

и
--- решения данного уравнения.

Ответ.

.

Если решать уравнение путем возведения в квадраты обеих его частей, то получится уравнение

У этого уравнения добавится ``лишний'' корень

, не принадлежащий ОДЗ.

Преобразование

, не равносильное, т.к.
входит в ОДЗ исходного выражения, но не входит в ОДЗ преобразованного.

Нюанс состоит в том, что при

функция
существует и при
, т.к. на что ноль ни умножай --- будет ноль.

Пример Решить уравнение

.

Решение. Начнем раскрывать внутренний модуль (раскрытие внешнего модуля займет гораздо больше времени):

1. При

имеем
.

Теперь рассмотрим два случая:

а)

, т.е.
;