Смекни!
smekni.com

Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 2 из 16)

Теорема Абсолютная величина любого действительного числа

равна арифметическому квадратному корню из
:
.

В самом деле, если

, то, по определению модуля числа, будем иметь
. С другой стороны, при
,
, значит
.

Если

, тогда
и
и в этом случае
.

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять

на
.

Геометрически

означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число
, до начала отсчета.

Если

, то на координатной прямой существует две точки
и
, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если

, то на координатной прямой
изображается точкой
.

Свойства модуля

Из этого свойства следует, что

;
.

Равносильные переходы между уравнениями с модулями

Тема ``Абсолютная величина'' (или ``Модуль числа'') является наиболее эксплуатируемой в практике вступительных экзаменов. Вероятно, это объясняется ощущением простоты понятия абсолютной величины числа и тем обстоятельством, что, используя модуль, любую систему и совокупность уравнений и неравенств с одной и той же областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения.

Посмотрим, на примере, как система одного неравенства и совокупность двух неравенств преобразуется к одному равносильному уравнению.

В основе указанных преобразований лежат следующие легко доказываемые утверждения:

Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа

<
>

Линейные сплайны

Пусть заданы

--- точки смены формул. Функция
, определенная при всех
, называется кусочно-линейной, если она линейная на каждом интервале
,
,
, ...,
, т. е.