Смекни!
smekni.com

Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 4 из 16)

Пример Два тела начинают одновременно двигаться равномерно по прямым

и
, пересекающимися под прямым углом. Первое тело движется со скоростью 3 км/ч по прямой
от точки
к точке
, находящейся на расстоянии 2 км от точки
. Второе тело движется со скоростью 4 км/ч по прямой
от точки
к точке
, находящейся на расстоянии 3 км от точки
. Найти наименьшее расстояние (в км) между этими телами во время движения.

Решение. Через

часов первое тело будет находится от точки
на расстоянии
км, а второе --- на расстоянии
км. По теореме Пифагора расстояние между телами составит
.
км.

Ответ.

км.

Пример Пункты

и
расположены на прямолинейной магистрали в 9 км друг от друга. Из пункта
в направлении пункта
выходит автомашина, двигающаяся равномерно со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта
в том же направлении с постоянным ускорением 32 км/ч
выходит мотоцикл. Найти наибольшее расстояние между машиной и мотоциклом в течении первых двух часов движения.

Решение. Расстояние между автомобилем и мотоциклом через

часов составит
.
.

Ответ. 16 км.

Пример Из пункта

в пункт
вышел пешеход. Не позже чем через 40 мин вслед за ним вышел второй. Известно, что в пункт
один из них пришел раньше другого не менее, чем на 1 час. Если бы пешеходы вышли одновременно, то они бы пришли в пункт
с интервалом не более чем в 20 мин. Определить, сколько времени требуется каждому пешеходу на путь от
до
, если скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.

Решение. Пусть

и
(мин) --- время, затраченное соответственно первым и вторым пешеходом на путь из
в
, и пусть второй пешеход вышел позже первого на
минут. Рассмотри 2 возможности 1)
и 2)
. В случае
имеем равенство
и систему

Из первого и третьего неравенства получим

, учитывая второе условие получим, что
, и это в свою очередь дает равенства
и
. Т.о.
,
,
.

В случае

имеем
и сиcтему

Но так как

, то система не совместна, и, следовательно, случай 2 не может иметь места.

Ответ.

,
,
.

Пример По расписанию автобус должен проходить путь

, состоящий из отрезков
,
,
длиной 5, 1, 4 км соответственно, за 1 час. При этом выезжая из пункта
в 10 ч, он проходит пункт
в 10 ч 10 мин, пункт
в 10ч 34 мин. С какой скоростью
должен ехать автобус, чтобы время за которое автобус проходит половину пути от
до
(со скоростью
), сложенное с суммой абсолютных величинотклонения от расписания при прохождении пунктов
и
, превышало абсолютную величину отклонения от расписания при прохождении пункта
не более, чем на 28 мин.

Решение. Условие задачи приводит к системе

которая имеет единственное решение

.

Ответ. 30 км/ч.

Пример Согласно расписанию катер проходит по реке, скорость течения которой 5 км/ч, путь из

в
длиной 15 км за 1 час. При этом выходя из пункта
в 12ч, он прибывает в пункты
и
, отстоящие от
на растояние 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигался из
в
без остановок с постоянной скоростью
(относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты
,
,
не превышало бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью
в стоячей воде. Какой из пунктов находится выше по течению:
или
?