Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 5 из 16)

Решение. Рассмотрим 2 случая 1) пункт

находится выше по течению 2) пункт находится ниже по течению.

В первом случае получаем систему

которая не имеет решения. Тогда выполняется второй случай.

Ответ.

.

Пример Даны три квадратных трехчлена:

,

и

. Докажите, что уравнение

имеет не более восьми корней.

Решение. Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трехчленов

, , с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трехчлены, так как коэффициент при имеет вид , т.е. отличен от нуля. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения содержатся среди корней четырех квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.

Пример Шабат Г.Б. Бесконечная последовательность чисел

определяется условиями:

, причем

. Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том случае, если

рационально.

Решение. Если

, то . Действительно, . Если рациональное, то рациональное, причем со знаменателем не большим чем у . Действительно, пусть --- несократимая дробь. Тогда

Если эта дробь несократима, то ее знаменатель такой же, как и у

, если она сократима, то после сокращения знаменатель уменьшится.

Итак, все члены последовательности --- рациональные числа, заключенные между 0 и 1, т. е. правильные дроби. Но правильных дробей со знаменателями, не большими заданной величины

, --- конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента последовательность будет периодической.

Простейшие уравнения и неравенства с модулем

К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:

Примеры решения простейших уравнений.

Пример Решим уравнение

.

Решение.

Ответ.

.

Пример Решим уравнение

.

Решение.

Ответ.

.

Пример Решим уравнение

.

Решение.

Ответ.

.

Остановимся подробнее на уравнениях, в которых встречается сумма модулей (формулы --).

Теорема Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.

Пример Решить уравнение

Решение. Так как

, то мы имеем равенство вида , где , . Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Ответ.

.

Теорема Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных величин тогда и только тогда, когда все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо все величины имеют противоположный знак одновременно.

Пример Решить уравнение

Решение. ``Загоняем'' коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и ``изолируем'' сумму модулей:

По константам получаем

. Действительно, , то есть уравнение имеет вид . Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух систем:

то есть

.

Ответ.

.

К простейшим (не обязательно простым) неравенствам мы будем относить неравенства, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:

Примеры решения простейших неравенств.

Пример Решим неравенство

.

Решение.

.

Ответ.

.

Пример Решим неравенство

.