Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 7 из 16)

Решение. Построим график функции

(см. рис. ).

В зависимости от положения прямой

, получаем следующее: при нет корней, при --- бесконечно много корней, при --- четыре корня, при --- три корня, при --- два корня.

Пример Докажите, что на графике функции

можно отметить такую точку

, а на графике функции

--- такую точку

, что расстояние

не превышает

.

Решение. Положим

. Точка с координатами , где , очевидно, лежит на графике функции .

Рассмотрим положительное число

. Тогда , следовательно, точка с координатами лежит на графике функции .

Расстояние между точками

и равно . Но из равенства следует, что , , .

Пример На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения:

.

Решение.

или .

Ответ. см. рисунок

Пример Дана функция

. Сколько решений имеет уравнение

?

Решение. Пусть

--- решение уравнения , а . Тогда и , а потому точка с координатами лежит на каждом из графиков и . Наоборот, если точка лежит на пересечении этих графиков, то и , откуда . Тем самым показано, что число решений уравнения совпадает с числом точек пересечения графиков и , а их 16 (см. рис. ).

Ответ. 16.

Графики функций, содержащих линейные выражения под знаком абсолютной величины

Сформулируем утверждение, позволяющее строить график алгебраической суммы модулей, не раскрывая модули (это особенно удобно, когда модулей много).

Теорема Алгебраическая сумма модулей

линейных выражений представляет собой кусочно-линейную, график которой состоит из

прямолинейного участка. Поэтому график может быть построен по

точкам,

из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна --- произвольная точка, с абсциссой меньше наименьшего из этих корней, и последняя --- с абсциссой, большей наибольшего из этих корней.

Замечание. Аналогично можно строить графики вида

.

Примеры построения графиков

1.

. Вычисляем значения функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух лучей (см. рис. ).

2.

. Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из отрезка и двух лучей (см. рис. ).

3.

. Для построения графика ``по отрезкам'' вычислим значение функции в точках 1, 2, 3, 0, 4 (см. рис. ).

4.

. График разности модулей строиться аналогично (см. рис. ).

Анализируя вид графиков 1, 2 и 3, можно предположить, а затем и доказать, что сумма модулей линейных выражений вида

достигает своего наименьшего значения либо в единственной точке, если число модулей нечетно, либо во всех точках некоторого отрезка, если число модулей чётно. График суммы нечетного числа модулей линейных выражений имеет форму клина, а график суммы чётного числа модулей имеет участок параллельный оси абсцисс. Более точно:

Теорема Пусть корни подмодульных выражений упорядочены по возрастанию

. Тогда если число слагаемых

нечётно и

, то наименьшее значение функции

достигается в точке

, а если число слагаемых

чётно и

, то наименьшее значение функции достигается во всех точках отрезка

.

Используем утверждение для решения задачи, предлагавшейся на одной из олимпиад Санкт-Петербургского государственного университета.

Пример В зависимости от значения параметра

, найти количество корней уравнения

Решение. Решим задачу графически. Пусть

, определим количество точек пересечения графика функции и прямой в зависимости от . Исходя из сформулированного выше утверждения, график функции будет иметь участок, параллельный оси абсцисс. Заметим, что абсциссы точек этого участка составляют отрезок , и во всех его точках функция достигает наименьшего значения, равного, например, , причем