Использование второго тождества удобно для построения графика функции
.Решение. В силу второго тождества, выражение задающее функцию, записывается в виде:
.Искомый график изображен на рисунке (см. рис. ).
Пример Найдите масимальное значение выражения
где
, , ..., --- различные натуральные числа от 1 до 1990.Решение. Заметим, что модуль разности двух неотрицательных чисел не больше их максимума. Поэтому
не больше, чем , не больше, чем , не больше, чем . Далее, данное выражение не может равняться 1990, поскольку четность этого выражения совпадает с четностью суммы . Наконец приведем пример, показывающий, что значение выражения может равняться 1989:Ответ. 1989.
Пример Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения
Решение. Рассмотрим выражение
и преобразуем его к виду
Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если
(т.к. ). Преобразуем полученное выражение, при условии . Получим уравнение, равносильное исходному:Ответ.
.Пример Решить уравнение
Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие
, на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение . Решая его и учитывая ограничение , получаемОтвет.
.Пример Решить уравнение:
Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаками второго, третьего и т.д. модулей, положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим
Ответ.
.Геометрический смысл выражения
--- длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.Пример Решим уравнение .
Решение. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой
до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка,--- нет.Ответ.
.Пример Решим уравнение .
Решение. Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.
Ответ.
.Пример Решить неравенство .
Решение. Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек
и в точности равна . Это все точки отрезка . Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.Ответ.
.Замечание. Обобщением решения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:
Пример Решите неравенство: .
Решение. Решим неравенство, используя координатную прямую. Данное неравенство выполняется для всех точек c координатой
, которые находятся ближе к точке с координатой , чем к точке с координатой . Так как , то искомыми являются все точки, расположенные левее точки с координатой .Ответ.
.Пример Решите уравнение .
Решение. Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой
. Сумма равна сумме расстояний от точки до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек и не меньше длины отрезка (и равенство достигается тогда и только тогда, когда точка расположена на отрезке ). Отсюда получаем, что не меньше 4, а не меньше 2 при любом . Поэтому для того, чтобы сумма была равна , необходимо, чтобы . Итак, необходимо равен . Легко проверить, что значение действительно является решением данного уравнения.