Компактные операторы (стр. 2 из 6)

([2], стр. 137)

1.4 Компактные множества

Определение: Множество

в метрическом пространстве называется компактным, если из всякой бесконечной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу .

Определение: Множество

, лежащее в некотором метрическом пространстве , называется предкомпактным, или относительно компактным (компактным относительно ), если его замыкание в компактно.

Определение: Множество

называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре с центром в точке , то есть существует такая постоянная , такая, что для любого выполняется неравенство

В курсе теории метрических пространств доказывалось, что любое компактное множество является ограниченным. Докажем, что любое относительно компактное множество также является ограниченным.

Теорема: Множество

, лежащее в некотором метрическом пространстве , и относительно компактное, является ограниченным.

Доказательство. Замыкание множества М является компактным, следовательно, ограниченным. Но

, а подмножество ограниченного множества также ограничено.

В конечномерном пространстве

выполняется также обратное утверждение.

Теорема: В конечномерном пространстве

всякое ограниченное подмножество относительно компактно.

Эта теорема следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса для пространства

: в этом пространстве всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Можно доказать также более общую теорему.

Теорема: В конечномерном нормированном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно.

Доказательство:

Пусть

– ограниченное подмножество n–мерного пространства , т. е. существует такая константа , что для всех . Каждому сопоставляем вектор , координаты которого равны соответствующим координатам в разложении элемента по некоторому фиксированному базису. Тогда справедливо следующее неравенство: (1), где – наименьшее значение на единичном шаре , . Возьмем любую последовательность . По неравенству (1) соответствующие этим элементам векторы образуют ограниченное множество, а в ограниченные множества относительно компактны, следовательно, из последовательности , можно выделить частичную , сходящуюся к некоторому пределу.

Сходимость в

есть сходимость по координатам, следовательно, и последовательность сходится по координатам. Но тогда эта последовательность сходится к некоторому пределу и по норме (в силу непрерывности суммы и произведения в нормированных пространствах). Тем самым относительная компактность доказана.

Определение: Семейство

функций называется равностепенно непрерывным, если для любого найдется такое , что , для любой функции , для любых , таких, что .

Определение: Семейство

функций , определенных на некотором отрезке, называется равномерно ограниченным, если существует такое число , что , для любого

Теорема Арцела: Для того чтобы семейство

непрерывных функций, определенных на отрезке , было предкомпактно в , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Теорема: Образом компактного множества при непрерывном отображении является компактное множество.

Докажем аналогичную теорему для относительно компактных множеств.

Теорема: Образом относительно компактного множества при непрерывном отображении является относительно компактное множество.

Доказательство. Пусть

– непрерывное отображение, – относительно компактное множество. Рассмотрим последовательность точек из множества : , . Так как множество относительно компактно, то существует подпоследовательность . Так как отображение – непрерывное, то . Значит, для множества выполнено условие относительной компактности.

Примеры компактных и некомпактных множеств

1. В пространстве

всякий отрезок будет компактен. (Так как пространство конечномерно, а данный отрезок является замкнутым и ограниченным множеством).

2. В пространстве

шар с центром в и радиусом , то есть множество точек , таких, что , является компактным. (Аналогично по доказанной теореме).