Компактные операторы (стр. 1 из 6)

Содержание

Введение........................................................................................................... 3

§1. Основные понятия и определения............................................................. 4

1.1. Линейные пространства........................................................................... 4

1.2. Нормированные пространства................................................................ 5

1.3. Банаховы пространства............................................................................ 6

1.4. Компактные множества............................................................................ 8

1.5. Линейные операторы и линейные функционалы.................................. 11

1.6. Сопряженные операторы....................................................................... 12

§2. Компактные операторы........................................................................... 13

2.1. Определение компактного оператора................................................... 13

2.2. Свойства компактных операторов......................................................... 13

2.3. Примеры некомпактного и компактных операторов........................... 16

Литература..................................................................................................... 20

Введение

Изучение произвольных линейных операторов представляет собой весьма трудоемкую задачу, однако среди линейных операторов можно выделить классы операторов, которые могут быть рассмотрены более подробно. Данная работа рассматривает основные понятия, свойства, определения и теоремы, связанные с одним из классов линейных операторов – компактными операторами.

Работа состоит из двух параграфов. Первый из них содержит предварительные сведения, необходимые для рассмотрения темы: понятия пространств, которые необходимы при изучении компактных операторов, понятия линейного оператора и линейного функционала, сопряженного оператора, компактного множества. Во втором параграфе рассмотрено определение компактного оператора, основные свойства этого класса операторов и примеры компактных и некомпактного оператора.

§1. Основные понятия и определения.

1.1 Линейные пространства.

Определение: Непустое множество

элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям:

I.

Для любых двух элементов определен единственный элемент , называемый суммой и обозначаемый , причем

1)

;

2)

;

3) в

существует такой элемент 0, что для всех ;

4) для каждого

существует такой элемент , что .

II. Для любого числа

и любого элемента определен элемент , причем

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

([1], стр. 120).

Примеры линейных пространств

1. Пространство действительных чисел

является линейным пространством по операциям сложения и умножения.

2.

– пространство, элементами которого являются последовательности чисел , удовлетворяющих условию с операциями ,

([1], стр. 121).

1.2 Нормированные пространства

Определение: Множество

называется нормированным пространством, если:

1)

– линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел.

2) Для каждого элемента

определено вещественное число, называемое его нормой и обозначаемое , и выполнены условия:

а)

для любого ;

б)

для любого и любого ;

в)

, для любых

([1], стр. 138).

Примеры нормированных пространств:

1. Пространство

становится нормированным, если положить .

2. Пространство

с элементами нормировано, при условии .

3. Пространство

функций, непрерывных на отрезке , нормировано, если взять .

([1], стр. 139).

1.3 Банаховы пространства

Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами

и называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое и подчиненное трем аксиомам:

1)

;

2)

;

3)

;

Определение: Последовательность

точек метрического пространства называется фундаментальной, если при .

Справедливы утверждения:

1. Если последовательность

сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна.

Доказательство:

Пусть

, тогда , при

2. Всякая фундаментальная последовательность

ограничена.

Определим расстояние в нормированном пространстве

, полагая для любых . Тогда означает, что . Это сходимость по норме.

Фундаментальная последовательность

в нормированном пространстве в соответствии с определением расстояния характеризуется условием

, при

Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел.

Определение: Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.