Компактные операторы (стр. 4 из 6)

Это соотношение можно принять за определение сопряженного оператора. ([1], стр. 229)

§2. Компактные операторы

2.1 Определение компактного оператора

Определение: Оператор

, отображающий банахово пространство в себя (или другое банахово пространство), называется компактным (вполне непрерывным), если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное. ([1], стр.235).

Данное определение можно сформулировать в силу первого определения компактного множества следующим образом:

Определение: Пусть дан линейный оператор

. Если он переводит любую ограниченную последовательность в , причем в можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то такой оператор будем называть компактным.

2.2 Свойства компактных операторов

1. Из определения компактного оператора и ограниченности относительно компактного множества следует, что любой линейный компактной оператор является ограниченным, следовательно, непрерывным.

2. Если

– компактный оператор, – ограниченный, то операторы и – компактные.

Доказательство. Если множество

ограничено, то множество тоже ограничено. Следовательно, множество относительно компактно, а это и означает, что оператор вполне непрерывен. Далее, если ограничено, то относительно компактно, а тогда в силу непрерывности множество тоже относительно компактно, то есть оператор вполне непрерывен. Теорема доказана.

([1], стр.241).

3. Если операторы

и компактные, действующие из нормированного пространства в нормированное пространство и – любые числа, то оператор также компактен.

Доказательство. Пусть множество

ограничено. В его образе возьмем произвольную последовательность элементов . Тогда существуют , при которых . Положим . При этом . Так как множество компактно, а , то существует подпоследовательность , имеющая предел. Аналогично в компактном множестве из последовательности можно выделить подпоследовательность , имеющую предел. Но так как вместе с сходится и последовательность , то существует , что и доказывает компактность множества , а, следовательно, оператор компактен. ([2], стр.306).

4. Если

– последовательность компактных операторов в банаховом пространстве , сходящаяся по норме к некоторому оператору , то оператор тоже компактен.

Доказательство. Для установления компактности оператора

достаточно показать, что, какова бы ни была ограниченная последовательность элементов из , из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Так как оператор

компактен, то из последовательности. можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть (2) – такая подпоследовательность, что сходится.

Рассмотрим теперь последовательность

. Из неё тоже можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть такая подпоследовательность выбранная из (2), что сходится. При этом, очевидно, что тоже сходится. Рассуждая аналогично, выберем из последовательности такую подпоследовательность , что сходится и т.д. Затем возьмем диагональную последовательность . Каждый из операторов переводит её в сходящуюся. Покажем, что и оператор тоже переводит её в сходящуюся. Тем самым мы покажем, что компактен. Так как пространство полно, то достаточно показать, что – фундаментальная последовательность. Имеем

.

Пусть

, выберем сначала так, что , а потом выберем такое , чтобы при всех и выполнялось неравенство (это возможно, так как последовательность сходится). При этих условиях из предпоследнего неравенства получаем, что для всех достаточно больших и . Таким образом свойство доказано. ([1], стр. 239).