12. Ïîëÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè . 13. Ç-í ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Êðîìå êèí. ýíåðãèè åñòü åùå ïîòåíöèàëüíàÿ ýí-ÿ, äëÿ êîò. íå ñóù-âóåò îáùåé ôîðìóëû. Ýòî ïîíÿòèå ìîæíî ââåñòè ëèøü äëÿ îãðàíè÷. êëàñà ñèë - äëÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë. Ýòî ñèëû, ðàáîòà êîò. ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè =à íóëþ. Ñóùåñòâóåò äðóãîå îïðåäåëåíèå êîíñåðâàòèâíûõ ñèë. Êîíñåðâàòèâíûìè ñèëàìè íàçûâàþòñÿ òàêèå ñèëû, ðàáîòà â ïîëå êîò. íå çàâèñèò îò òðàåêòîðèè è îïð-ñÿ òîëüêî íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì ïîëîæåíèåì ñèñòåìû. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòè îïðåäåëåíèÿ ðàâíîçíà÷íû. Äåéñòâèòåëüíî, if ðàáîòà íå çàâèñèò îò òðàåêòîðèè, òî ïðè îáðàòíîì äâèæåíèè âäîëü òðàåêòîðèè îíà áóäåò òàêàÿ æå, íî ñ îáðàòíûì çíàêîì. Ïðîñóììèðîâàâ äâèæåíèå ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè, ñîñòîÿùåé èç 2õ êðèâûõ, ïîëó÷àåì â ñóììå 0. Êîíñåðâàòèâíûå ñèëû, êàê ïðàâèëî, çàâèñÿò òîëüêî îò ïîëîæåíèÿ òåëà, à íåêîíñåðâàòèâíûå - îò åãî ñêîð.. Ðàññìîòðèì ïðèìåðû ïîëåé êîíñåðâàòèâíûõ è íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèë. Ñèëû òðåíèÿ èëè ñîïðîòèâëåíèÿ ÿâë. íåêîíñåðâàòèâíûìè. Èõ íàïðàâë. îïð-ñÿ ñêîð-òüþ ïåðåìåùåíèÿ òåë. Ñèëû òðåíèÿ âñåãäà íàïðàâëåíû â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ íàïðàâë. äâèæåíèÿ, ò.å.: F(âåêòîð)òð=-(v(âåêòîð)/v)Fòð. Çäåñü v(âåêòîð)/v - åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé âäîëü ñêîð. òåëà. Ðàáîòà ñèëû òðåíèÿ ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè l =à: A(l)= 'èíòåãðàë c êðóæêîì îò (l)'(-Fòð((v(âåêòîð)/v)dr(âåêòîð)))= -'èíòåãðàë îò t1 äî t2'(Fòð((v(âåêòîð)/v)dr(âåêòîð)/dt)dt)= -'èíòåãðàë îò t1 äî t2'(Fòð((v(âåêòîð)v(âåêòîð))/v)dt)= -'èíòåãðàë îò t1 äî t2'(Fòð*vdt)=- 'èíòåãðàë c êðóæêîì îò (l)'(Fòð*dl). Êðóæîê ó èíòåãðàëà - èíòåãðèðîâàíèå ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè. Ïîñëåäíåå ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ñêàëÿðíîå, îíî âñåãäà ïîëîæèòåëüíî, ñëåä., ðàáîòà ñèëû òðåíèÿ íà çàìêíóòîé òðàåêòîðèè âñåãäà îòðèöàòåëüíà. Ýòà ðàáîòà òåì áîëüøå ïî ìîäóëþ, ÷åì äëèíåå ïóòü. Âûâîä: ñèëû òðåíèÿ - íåêîíñåðâàòèâíûå ñèëû. Ïðèìåðîì ïîëÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ÿâë. ïîëå òÿãîòåíèÿ âáëèçè ïîâ-òè Çåìëè. Ðàáîòà, êîò. çàòðà÷èâàåòñÿ íà ïåðåìåùåíèå òåëà èç ïîëîæåíèÿ r1 â ïîëîæ. r2 =à: A12='èíòåãðàë îò r1 äî r2'(mg(âåêòîð)dr(âåêòîð))='èíòåãðàë îò r1 äî r2'(mg dr(g))=-mg'èíòåãðàë îò h1 äî h2'(dh)=mg(h1-h2). Èç ýòîé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî ðàáîòà ñèëû òÿæåñòè çàâèñèò îò âåëè÷èíû ýòîé ñèëû è îò ðàçíîñòè íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé âûñîò òåëà. Íèêàêîé çàâèñèì. îò ôîðìû òðàåêòîðèè íåò, à çí÷èò, ñèëà òÿæåñòè êîíñåðâàòèâíà. Òàêæå ïðîñòî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî êîíñåðâàòèâíûìè ÿâë. ñèëû, ñîçäàþùèå îäíîðîäíîå ïîëå. Ïîëå ñèë íàç. îäíîðîäíûì, if â ëþá. òî÷êå ýòîãî ïîëÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî îäèíàêîâà ïî âåëè÷èíå è íàïðàâë.. Êîíñåðâàòèâíûìè ÿâë. òàêæå ïîëÿ öåíòðàëüíûõ ñèë. Öåíòðàëüíûìè íàçûâàþòñÿ ñèëû, íàïðàâëåííûå âäîëü ëèíèè âçàèìäåéñò. òåë, âåëè÷èíà êîò. çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òåëàìè. Òàêîìó óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò, íàïðèìåð, êóëîíîâñêèå ñèëû è ñèëû òÿãîòåíèÿ.  ïîëå êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ìîæíî ââåñòè åùå 1 âèä ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè - ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ. Ïðåæäå ÷åì åå ââîäèòü, âûáèðàþò ò÷êó, â êîò. îíà =à íóëþ. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýí-ÿ òåëà â ëþá. òî÷êå ïðîñò-âà îïð-ñÿ ðàáîòîé, êîò. íóæíî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ïåðåìåñòèòü òåëî èç ýòîé ò÷êè â ò÷êó ñ íóëåâîé ïîò. ýíåðãèåé. Îòìåòèì 2 ñóùåñòâåííûõ ìîìåíòà, âûòåêàþùèõ èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ. Âî-ïåðâ., ïîñêîëüêó ðàñì-åòñÿ ïîëå êîíñåðâàòèâíûõ ñèë, çíà÷. ïîò. ýíåðãèè òåëà çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ òåëà è âûáîðà ò÷êè íóëåâîé ïîò. ýíåðãèè è íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè, ïî êîò òåëî ïåðåìåùàåòñÿ. Âî-âòîðûõ, ïîñêîëüêó âûáîð íóëÿ ïîò. ýíåðãèè ïðîèçâîëåí, çíà÷. ïîò. ýíåðãèè îïð-ñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñò., ñëåä. ôèç. ñìûñë èìååò ëèøü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé èëè ïðèðàùåíèå ïîò. ýíåðãèè, íî íå ñàìà ýí-ÿ. Íà ðèñ.11.3 ìû ïðåäñòàâèëè 3 ò÷êè â ïðîñò-âå ïîëÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë: ò÷êó (b), ò÷êó (ñ) è ò÷êó (î), ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ â êîò. áóäåì ñ÷èòàòü =îé 0. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Abo ðàáîòó, êîò. ñîâåðøàåòñÿ ïðè ïåðåíîñå òåëà èç ò÷êè (b) â ò÷êó (o). If ïåðåìåùàòü òåëî èç ò÷êè (o) â ò÷êó (b), òî ñîâåðøàåìàÿ ïðè ýòîì ðàáîòà áóäåò =à Aob=-Abo, ïîñêîëüêó ìåíÿåòñÿ íàïðàâë. äâèæåíèÿ, íî íå ìåíÿþòñÿ äåéñòâóþùèå íà òåëî ñèëû. Ðàáîòó ïî ïåðåìåùåíèþ òåëà èç ò÷êè (c) â ò÷êó (o) áóäåì îáîçíà÷àòü, êàê Àño. Òî÷íî òàêæå Àñî=-Àîñ. Ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà èç ò÷êè (b) â ò÷êó (c) ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà Abc=-Acb. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïîò. ýíåðãèè è ôîðìóëå (11.3) äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàáîòû èìååì: Eï(b)=A(b0)= 'èíòåãðàë îò b äî 0'(F(âåêòîð)dr(âåêòîð)); Eï(ñ)=A(ñ0)= 'èíòåãðàë îò ñ äî 0'(F(âåêòîð)dr(âåêòîð)); (11.8). Eï(b)- Eï(c)= 'èíòåãðàë îò b äî 0'(F(âåêòîð)dr(âåêòîð))- 'èíòåãðàë îò ñ äî 0'(F(âåêòîð)dr(âåêòîð))= 'èíòåãðàë îò b äî 0'(F(âåêòîð)dr(âåêòîð))+ 'èíòåãðàë îò 0 äî c'(F(âåêòîð)dr(âåêòîð))= 'èíòåãðàë îò b äî c'(F(âåêòîð)dr(âåêòîð))=A(bc) (11.9) Îêàçàëîñü äîêàçàííûì ñëåäóþùåå óòâ.: ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà â ïîëå êîíñåðâàòèâíûõ ñèë èç ò÷êè (b) â ò÷êó (c), =à ðàçíîñòè ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé òåëà â òî÷êàõ (b) è (c). Îäíàêî, ýòà æå ðàáîòà =à ðàçíîñòè êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé â òî÷êå (ñ) è (b). A(bc)=Eê(b)-Eê(ñ)=Eï(ñ)-Eï(b) => Eê(b)+Eï(b)=Eê(ñ)+Eï(ñ) (11.10) Ïîëó÷èëîñü, ÷òî ñóììà êèí. è ïîò. ýíåðãèè òåëà, êîò. íàç. ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèåé òåëà, îêàçàëàñü íåèçìåííîé. Òîæå ñàìîå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ñèñòåìû ìåõàíè÷åñêèõ òåë. Ïîëó÷èâøååñÿ óòâ. íîñèò íàç. ç-íà ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè: ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýí-ÿ èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû â êîò. äåéñòâóþò êîíñåðâàòèâíûå ñèëû îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Ìåæäó êîíñåðâàòèâíûìè ñèëàìè è ïîò. ýíåðãèåé äîëæíà áûòü ñâÿçü, ïîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíàÿ ýí-ÿ ââîäèòñÿ òîëüêî â ïîëå êîíñåðâàòèâíûõ ñèë. Íàéäåì ýòó ñâÿçü äëÿ ïðîñòåéøåãî ñëó÷àÿ, êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýí-ÿ çàâèñèò òîëüêî îò 1îé êîîðäèíàòû. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèò ïîòåíöèàëüíàÿ ýí-ÿ âáëèçè ïîâ-òè Çåìëè, ê íåìó è îáðàòèìñÿ. Ïóñòü îñü (oy) íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî ââåðõ è èìååò íîëü íà ïîâ-òè Çåìëè. Òîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýí-ÿ çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàòû y è =à: Eï=mgy. Âîçüìåì ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî êîîðäèíàòå y îò ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé =ñòâà: dEï/dy=mg. Ñïðàâà ñòîèò ñèëà òÿæåñòè, êîò. íàïðàâëåíà ââåðõ, ò.å. ïðîòèâ îñè (oy). Ïî-âèäèìîìó, ïðîèçâîäíîé, ñòîÿùåé â ëåâîé ÷àñòè =ñòâà òîæå ìîæíî ïðèïèñàòü íàïðàâë.; åå ïðîåêöèÿ íà îñü (oy) áóäåò =à (dEï/dy)'subscript y'=-mg=-F'subscript y'.  ñëó÷àå, êîãäà äåéñòâóþùàÿ ñèëà èìååò ïðîåêöèè íà âñå êîîðäèíàòíûå îñè, ìîæíî çàïèñàòü àíàëîãè÷íûå âûðàæåíèÿ è äëÿ ïðîåêöèé íà äðóã. îñè. Fx=-dEï/dx; Fy=-dEï/dy; Fz=-dEï/dz (11.11) Äëÿ ñèëû, òàêèì îáðçîì, ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå: F(âåêòîð)=-(e(âåêòîð)x(dEï/dx)+ e(âåêòîð)y(dEï/dy)+ (âåêòîð)z(dEï/dz))=-( e(âåêòîð)x(d/dx)+e(âåêòîð)y(d/dy)+e(âåêòîð)z(d/dz))Eï= -grad Eï (11.12). Ãðàäèåíò ïîò. ýíåðãèè. Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâ-âà ýòîãî âåêòîðà. Îñîáåííîñòü åãî ñîñò. â òîì, ÷òî âäîëü êîîðäèíàòíûõ îñåé íóæíî îòêëàäûâàòü íå ÷èñëà, à ìàòåìàòè÷åñêèå îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùåé êîîðäèíàòå. Çà ãðàäèåíòîì îáÿçàòåëüíî äîëæíà ñòîÿòü ñêàëÿðíàÿ ô-ÿ, ê êîò. îí ïðèìåíÿåòñÿ. Ãðàäèåíò ïîò. ýíåðãèè èìååò íàïðàâë., â êîò. ïîòåíöèàëüíàÿ ýí-ÿ óâåëè÷èâàåòñÿ áûñòðåå âñåãî, è âåëè÷èíó, ðàâíóþ ñêîð. ýòîãî óâåëè÷åíèÿ, if äâèãàòüñÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè. Èç ñêàçàííîãî ñëåä., ÷òî ñèëû ïîëÿ çàñòàâëÿþò òåëî äâèãàòüñÿ â íàïðàâëåíèè ìèíèìóìà ïîò. ýíåðãèè. Âñå åñòâåíûå ïðîöåñû ñòðåìÿòñÿ ïðèâåñòè ñèñòåìó ê ìèíèìóìó ïîò. ýíåðãèè. Ýòîò âûâîä ñïðàâåäëèâ íå òîëüêî äëÿ ìåõàíèêè, íî è äëÿ äðóãèõ ðàçäåëîâ ôèçèêè è åñòåñòâîçíàíèÿ.