18.2 Распространение колебаний, звуковые и электромагнитные волны.
Упругой называется среда, которая может сопротивляться деформации. Возьмем, например, металлическую линейку. Закрепим один ее конец, а на второй подействуем с некоторой силой. Для того, чтобы согнуть линейку требуется прикладывать силу, которая уравновешивается силами, действующими со стороны соседних участков линейки. Через некоторое время после прекращения действия внешней силы линейка разогнется и перейдет в прямое состояние. Это пример действия упругих сил в твердых телах. В газах также существуют упругие силы. Возьмем поршень в цилиндре и попытаемся сжать газ в цилиндре. Упругие силы, возникающие из-за избыточного давления газа, будут стремиться вернуть поршень в положение равновесия. Жидкости тоже являются упругими средами, в них тоже возникают упругие силы.
Отличие упругих сил в твердых телах от упругих сил в жидкостях и газах, заключаются в том, что, в твердых телах упругие силы действуют во всех направлениях, независимо от того, куда мы стремимся приложить силу. В газах упругие силы возникают только тогда когда мы стремимся изменить первоначальный объем газа. Другими словами, твердое тело сопротивляется изменению своего объема и своей формы, а жидкости и газы - только изменению объема.
Если заставить колебаться участок упругой среды, то под действием упругих сил эти колебания будут передаваться соседним участкам среды. Процесс распространения колебаний в упругой среде называют волнами. В общем случае волна - это процесс распространения колебаний какого-то параметра (смещения атомов в теле, давления в газах, напряженности электрического поля или еще чего-нибудь) в пространстве. В жидкостях и газах колебания могут быть направлены только вдоль направления распространения волны. Такие волны называются продольными.
В твердых телах колебания могут совершатся как вдоль направления распространения волны, так и поперек. Волны, у которых колебание совершается перпендикулярно направлению распространения называются поперечными. Примером продольных волн в газах является звук. Примером поперечных волн являются электромагнитные волны, у которых колеблются напряженности электрических и магнитных полей.
Рассмотрим процесс возникновения волн и найдем уравнение, описывающее волну. В качестве модели возьмем длинную натянутую струну или веревку. В исходном состоянии она неподвижна. В начальный момент времени t0 начнем колебать в поперечном направлении незакрепленный конец веревки. Пусть некоторую точку смещают из положения равновесия и отпускают. Точка начинает колебаться по гармоническому закону (рис.18.3). Через некоторое время точка отойдет от положения максимального отклонения и станет перемещаться к положению равновесия. Через четверть периода колебаний точка достигнет его, минует и станет двигаться дальше к максимальному отклонению xmax=А, равному амплитуде. Спустя некоторое время все тоже самое случится с соседней точкой. С течением времени колебание может распространиться на всю веревку. Каждая точка веревки (если пренебречь затуханием, т.е. силами сопротивления) будет колебаться по закону . Фаза колебания каждого участка веревки будет своя. По веревке будет распространяться колебание, т.е. возникнет так называемая бегущая волна.
Введем параметры, характеризующие волну. Минимальное расстояние между двумя участками веревки, колеблющимися в одинаковой фазе назовем длиной волны l, см.рис.18.3. Участки веревки с постоянной фазой колебания перемещаются слева направо. Скорость перемещения постоянной фазы колебания называют фазовой скоростью - u. За время, равное одному периоду колебаний - T, волна поробегает расстояние, равное ее длине - l.
.
Поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Геометрическое место точек, которых достигло возмущение от источника называется волновым фронтом. Эти понятия очень похожи, но не тождественны. Волновой фронт перемещается со скоростью волны, а волновые поверхности неподвижны лишь в один момент времени они совпадают друг с другом. Если, например, колонна машин едет по дороге, то первую машину можно уподобить волновому фронту, а встречающиеся на пути километровые столбы - волновым поверхностям. Пусть волна распространяется из точки О вдоль оси (oz). Найдем фазу волны в произвольной точке z (см.рис.18.4).
Рис.18.3 Рис.18.4
Колебание волны в точке z можно представить в виде: , где t’ - время запаздывания колебаний в точке z по сравнению с колебаниями в точке О. За это время волновой фронт проходит расстояние от начала отсчета до точки z. Это время равно . С учутом имеем:
Здесь k - волновое число, которое показывает сколько длин волн l укладывается на отрезке, длиной 2p.
Полученное выражение называется уравнением бегущей волны. Оно определяет колебание волны в каждой точке пространства, являясь функцией координаты z и времени t.
Часто, кроме круговой частоты колебаний w=2p/T используют циклическую частоту n=1/T. Частота измеряется в Герцах, 1 Гц - это 1 колебание в секунду. В общем случае вместо смещения точки среды из положения равновесия можно ввести любой “колеблющийся” параметр. Для звуковых волн таким параметром является давление газа в данной точке пространства. Звуковые волны - продольные волны и физически сводятся к процессу распространения в газе колебаний давления. Эти колебания обычно создают путем колебаний мембраны перпендикулярно ее плоскости. Возникающие перепады давления и представляют собой звуковую волну. Область частот, которые слышит человеческое ухо лежит в диапазоне 20-20000 Гц.
Другим чрезвычайно важным видом волн являются электромагнитные волны. Электромагнитные волны могут возникать и распространятся в пустом пространстве, т.е. в вакууме. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле создает вокруг себя в пространстве переменное электрическое поле. В свою очередь, переменное электрическое поле создает вокруг себя в пространстве переменное магнитное поле. Этот процесс приводит к появлению в пространстве некоторой волны - электромагнитной волны. Эта волна является поперечной.
Напряженности электрического и магнитного полей волны перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны. На рис.18.5 показаны напряженности электрического и магнитного полей в бегущей волне.
Рис.18.5
Особенностью электромагнитных волн является то, что для их распространения не требуется никакой среды. Переменные электромагнитные поля могут распространяться в вакууме.
Для количественного описания волн вводят два понятия: интенсивность волны и объемную плотность энергии волны. Интенсивность волны - это средняя по времени энергия, переносимая волнами через единичную площадь, параллельную волновому фронту, за единицу времени. Объемная плотность энергии - это энергия волн, приходящаяся на единицу объема. Волна - это процесс распространения колебаний в пространстве (в упругой среде , как это имеет место для звуковых волн, или в вакууме, как это имеет место для электромагнитных волн). Энергия колебаний определяется амплитудой и частотой. Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. В системе СИ интенсивность волны выражается в Вт/м2.
Без вывода приведем выражения для интенсивности и скорости звуковой и электромагнитной волн. Для звуковой волны:
где А - амплитуда колебаний среды, w - частота, u, u//, u^ - скорость волны, продольной и поперечной, r - плотность среды, в которой распространяется звуковая волна, E - коффициент Юнга, G - коэффициент сдвига.
Распространение звука в упругой среде связано с объемной деформацией. Поэтому давление в каждой точке среды непрерывно колеблется с частотой w вокруг некоторого среднего значения. Давление, вызванное звуковой деформацией среды называется звуковым давлением.
Наше ухо воспринимает звуковые давления неодинаково на разных частотах. Область частот ,которые воспринимает ухо лежит в диапазоне 20 - 20000 Гц. Наибольшей чувствительностью ухо обладает в диапазоне частот около 1000 Гц. На этих частотах ухо способно воспринимать звуки, звуковое давление в которых отличается на 7 порядков.
Для интенсивности электромагнитной волны справедливо:
, где Eо и Hо амплитуды напряженности электрического и магнитного полей, e и m диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, eо и mо диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума - постоянные, введенные в системе СИ. Скорость распространения электромагнитных волн в среде равна