Лекции по физике (стр. 11 из 24)
Хотя поглощательная способность внутренней поверхности полости и не равна единице, при каждом отражении происходит поглощение части энергии, при многочисленных отражениях будет поглощена практически вся энергия.
 |
Таким образом, входное отверстие такой полости, даже не являясь поверхностью какого-нибудь тела, обладает свойствами поверхности абсолютно черного тела. И для нас, конечно, важно не столько то, что (почти) вся падающая на эту “поверхность” энергия будет поглощена, сколько то, что ее излучение будет практически совпадать с излучением абсолютно черного тела. В соответствии с законом Кирхгофа.
12.2. Плотность лучистой энергии
DV  q dq R DR |
Рассмотрим детальнее равновесие элемента поверхности абсолютно черного тела и лучистой энергии, в которую оно “погружено”. Выделим элемент поверхности Ds и некоторый элементарный объем DV в окружающем его пространстве.
Введя плотность энергии 
, мы можем записать выражение для части заключенной в выделенном объеме энергии, которая протечет через выделенную площадку:
.
Это выражение написано из таких соображений. Запасенная в выделенном объеме энергия будет распространяться в пределах телесного угла 4p. Значит, через выделенную площадку пройдет часть этой энергии, равная отношению телесного угла 
, под которым из выделенного объема видна площадка, к полному телесному углу.
DV  q dq R DR |
Далее, в силу симметрии, элементарный объем можно выбрать в виде “бублика”, объем которого
.
Таким образом, чтобы подсчитать энергию, которая пройдет через выделенную площадку за время 
, нам надо взять интеграл по dq:
.
В условиях равновесия за то же время площадкой Ds будет испущена такая же по величине энергия. Поэтому,
;
.
Мы нашли связь между испускательной способностью абсолютно черного тела и плотностью электромагнитной энергии в условиях равновесия.
12.3. Лучистая энергия
Мы нашли связь между функциями испускательной способности и плотности электромагнитной энергии. Но представляется совершенно неясным, каким способом можно было бы найти вид этих функций. Здесь нужны какие-то дополнительные гипотезы о способе существования, что ли, лучистой, волновой энергии. Ясно, что такое описание распределения энергии по частотам (это функции частоты!) при определенной температуре должно быть вероятностным, но в основе должно предположить существование какой-то функции распределения, подобно тому, как мы в свое время нашли вид функции распределения Максвелла для молекул (атомов).
 ; Z  Yd b 0 a X |
Такой гипотезой явилось предположение, что лучистая энергия могла бы существовать в виде стоячих волн. Стоячими волнами мы ранее немного занимались, но теперь нам надо исследовать этот вопрос детальнее.
Пусть у нас имеется полость в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами a,b,c. Условием существования стоячей волны вида
является выполнение условий
.
Речь, разумеется, идет о плоской волне, и только при выполнении этих условий любой луч волны окажется замкнутым. Причем в любую “стартовую” точку волна будет возвращаться с неизменной фазой.
Теперь можно говорить о некотором распределении стоячих волн по оси частот - они могут принимать лишь некоторые дискретные значения.
Перейдем в декартово пространство, в котором по осям отложены значения составляющих векторов 
. Концы векторов, удовлетворяющих условию стоячей волны, будут иметь координаты 
. Это позволяет нам говорить о плотности таких точек в k - пространстве: поскольку 
, элементарный объем на одну точку (конец вектора 
) 
. Равная обратной величине элементарного объема, плотность точек Nk в k - пространстве оказывается величиной постоянной: 
.
Собственно, нас интересуют количества векторов в модулем от k до k+Dk. Чтобы подсчитать это количество, выберем элементарный объем в k - пространстве в виде тонкого шарового слоя радиуса k и толщиной Dk и умножим его на плотность точек:
.
Теперь нам надо проделать еще такие операции. Во-первых, перейдем от волновых векторов k к частотам w: 
. Затем нам надо умножить полученное число на 2, поскольку имеется два взаимно перпендикулярных направления колебаний - это будут разные стоячие волны. Тогда на единицу объема мы получаем такое количество волн с частотой w:
.
 Y kX<0 kX>0kY>0 XkY<0 |
Теперь попробуем понять, что мы, собственно, получили. Это выражение дает нам число волн с частотой w в единице объема. Но это еще не количество стоячих волн. При каждом отражении волна изменяет направление распространения, но это остается та же волна с частотой w. При нашем же подсчете они считались различными волнами - с определенным модулем волнового числа k и независимо от направления вектора . Поэтому полученное количество волн нам надо разделить на 8 и вот почему.
При каждом отражении изменяется знак одной из проекций вектора . Как видно из рисунка, изменение знаков проекций kX и kY дает четыре возможные направления вектора . Но остается еще возможность изменения знака kZ - итого получается 8 возможных направлений распространения (одной и той же) волны с частотой w. Таким образом, переходя к дифференциалам, мы получаем нужное выражение:
.
Эти стоячие волны заманчиво трактовать как колебательные степени свободы для лучистой энергии. Тогда на каждую стоячую волну пришлась бы порция энергии kT. Но здесь нас ждет большая неприятность: количество стоячих волн (вплоть до w=¥) неограничено, плотность энергии оказывается бесконечной, что, конечно, никак не может отвечать реальности.
Тем не менее не стоит приходить в отчаяние. Нам еще придется сделать некоторые уточнения, связанные с более глубоким пониманием физики. Тогда мы и получим разумный результат.
12.4. Формула Планка
Изучение теплового равновесного излучения как и других явлений привело физиков к идее квантования. Каждой колебательной степени свободы пришлось приписать энергию в несколько энергетических квантов - порций энергии величиной ћw.