xc=(åmkxk)/ M; yc=(åmkyk)/ M; zc=(åmkzk)/ M
Для сплошного однородного тела имеем след.ф-лу для нах-я центра масс.
xc=(òх dV)/V; yc=(òу dV)/V; zc=(òz dV)/V; V=òdV
Для тел, масса кот-х распределена по пов-ти небольшой толщины имеем след-е ф-лы:
xc=(òх ds)/S; yc=(òу ds)/S; zc=(òz ds)/S; S=òds
Для тел, масса кот-х распределена по длине (типа проволоки):
xc=(òх dl)/L; yc=(òу dl)/L; zc=(òz dl)/L; L=òdl
Свойства центров масс
Если тело имеет ось симметрии, плоскость симметрии, то центр масс обязательно располагается на них.
Метод отрицательных масс.
S1-вся площадь
S2- площадь выреза
С –центр масс тела без выреза площади S2
xc=[(S1-S2)xc*+ S2xc2]/S1
xc*= (xc S1- xc2 S2)/( S1- S2)
c*-центр масс тела с вырезом
Из этой ф-лы следует, что если надо опр-ть центр масс тела, у кот-х есть вырез, то надо считать, что в вырезе сосредоточена отрицательная масса.
Цент тяжести некоторых простейших тел.
Разбиение на ¥
ВД-медиана
ВС*/С*Д=2/1
Центр тяжести в точке пересечения медиан.
Центр тяжести дуги.
Ус=0, хс=òхdl/L
L=2ar
х=rcosj; dl=rdj;
хc=(1/2ar) òr2cosj dj =(r/2a)sinj ½= (r/2a)2sina= (r sina)/a;
Ц.т.кругового сектора
хс=(2/3) (r sina)/a);
Ц.т.кругового сегмента
хс=[S2xc2 – S1xc1]/(S2 – S1)
S2=a r2
S1=(1/2)r2 sin 2a
2p - p r2, 2a - x, x=(2a/2p)p r2,
xc={[(a r2)(2/3)r (sin a/a)]-[(1/2) r2 sin 2a][(2/3) rcosa]} /[(a r2)-[(1/2) r2 sin 2a]
=(2/3)r[sin3a /(2a- sin2a]
Кинематика
Это раздел механики, в котором изучается движение материальной точки, твердых тел, механических систем, без учета сил, вызывающих это движение
Кинематика точки
Сущ-ет 3 способа задания дв-я точки: векторный, координатный, естественный.
При векторном способе задания точки откладываются векторы из одной точки.
Задается r, как ф-ция от времени r=r(t)
Кривая, которую вычерчивает конец вектора, отложенный из одной общей точки наз-ся гадографом.
Гадограф радиуса вектора точки – это траектория точки.
V=lim(Dr/Dt)=dr/dt –скорость
Отсюда вывод-скорость направлена по касательной к траектории точки.
W= lim(Dv/Dt)=dv/dt – ускорение
При коорд.способе задания точки берем коорд.сетку: оси x, y, z
x=f1(t)
y= f2(t)
z= f3(t)
Vx=x=d f1/Dt Wx=x=
Vy=y=d f2/Dt Wy=y=
Vz=z=d f3/Dt Wz=z=
V=ÖVx2 + Vy2 + Vz2
W=ÖWx2 + Wy2 + Wz2
cos(V,x)= Vx/V
cos(V,y)= Vy/V
cos(V,z)= Vz/V
Естественный способ задания дв-я точки.
При естеств.способе задания дв-я точки д.б.задано: 1)траектория дв-я точки, 2)начало отсчета на траектории, 3)положительное и отрицательное направление отсчета, 4)дуговая абсцисса д.б.задана как ф-ция от времени S=f(t)
Введем единичный орт касательный t. Вектор t направлен в сторону возрастания дуговой абсциссы, модуль êtê=1
Вектор скорости V опр-ся: V=s t.
Если s>0, то скорость направлена в сторону возрастания дуговой абсциссы по вектору t, а если s<0, то вектор скорости напрвлен в сторону убывания дуговой абсциссы.
V=s- алгебраическое зн-е скорости.
Введем элементы диф.геометрии.
Предельное положение пл-ти t1М1t2’ при стремлении М2 к М1 наз-ся соприкасающейся пл-тью.
В каждой точке кривой введем нормальную пл-ть, как пл-ть ^ вектору t.
Пересечение нормальной пл-ти с соприкасающейся пл-тью дает направление главной нормали. Поэтому введем едиинчный орт направления главной нормали n направлена по напр-ю гл.нормали., т.е.по отношению к кривой мы имеем:
Введем 3-й вектор –вектор бинормали в, так что вектора t, n и в составляли правую тройку векторов. Эти три вектора определяют оси естественного трехгранника. С каждой точкой кривой связаны 3 взаимно ^ оси t, n, в
V=dr/dt=(dr/ds)/(ds/dt)=st
ïdr/dsï=ïdrï/ïdsï=1
t направлен в сторону возрастания дуговой абсциссы
Определение ускорения при естественном способе задания дв-я точки
Ускорение W=dv/dt=d(st)/dt=st+s(ds/dt)
Кривизна кривой в данной точке
К=lim(Dj/Ds)=dj/ds
r=1/k=ds/dj-радиус кривизны в пределах при D s®0, вектор dt направлен по направлению нормали.
(tt) =1. Произв.по времени: 2[t (dt/dt)]=0 Þ ^ dt/dt
Вектор dt/dt направлен по нап-ю нормали
çdt/dtç=çdtç/çdtç= dj/ dt= (dj/ ds)( ds/ dt)= s(1/r)
вектор dt/dt= s/r
s(dt/dt)= s 2/r= v2/r
W= st+ (s 2/r), где st= Wt -касат.составляющая ускорения
s 2/r= Wn –норм.сост.ускорения
W=Wt + Wn
W=ÖWt2 + Wn2
Wt -хар-ет изменение скорости по вел-не,
Wn-хар-ет изменение скорости по направлению
Wt направлена по вектору t если s>0 и противоположно вектору t если s<0
Численное зн-е нормального ускорения Wn всегда >0, и оно всегда направлено внутрь области кривой в каждой ее точке.
Если точка движется по прямой, то норм.ускорение точки =0.
Пусть точка движется по окружности с пост.по величине скоростью, чему равно ускорение точки?
V=const
Wt =dv/dt=0
Wn =v2/R
Любую кривую можно представлять в виде совокупности дуг различного радиуса.
Связь между естеств.и коорд.способами задания дв-я.
Ds=Öx2+y2+z2 dt
S=òÖx2+y2+z2 dt
Wt=dv/dt=d(Öx2+y2+z2)/dt=[VxWx+VyWy+VzWz]/V/
x=f1(t)
y= f2(t)
z= f3(t)
t=j1(x) –цилиндр.пов-ть образ.параллель.оси у
y=f2(j1(x)) - цилиндр.пов-ть образ.кот параллель.оси z.
z=f3(j1(x))
Частный случай дв-я точки
1.Равномерное дв-е
v=const, S=So+vt
2.равноускоренное дв-е
Wt =const, V=Vo+ Wt t, S=Vot+ Wt (t2/2)
V2 –Vo2=2 WtS
dV/dt= Wt,
òdV=ò Wt dt, V –Vo= Wtt
Кинематика твердого тела
В теор.механике рассм.только тверд.тела
Абс.тв.тела-это такие тела, раст.между двумя любыми точками не меняются за все время движения
Поступательное дв-е твердого тела
Поступательн.дв-ем тв.тела наз-ся такое дв-е
Тела, при кот.любая прямая, проведенная в нем остается параллельной самой себе за все время дв-я (самолет, летящий прямолинейно, дв-е поршня в двигателе автомоб., дв-е колеса обозрения)
Теорема: При поступ.движении тв.тела траектории дв-я всех точек тела конгруэнтны, а скорость и ускорение равны.
rв= rА+АВ
Поскольку это вып-ся в люб.момент времени, то получается, что траектория т.В можно определить смещением вектора АВ в каждой точке из траектории т.А возм.произв.по времени (АВ=const)
drв/dt= drA/dt+d(AB)/dt
VB=VA. WB=WA.
Вращат.дв-е твердого тела.
Вращат.наз-ся такое дв-е тв.тела, при кот-м хотя бы 2 точки тела остаются неподвижными за все время вращенияя, через эти 2 точки проходит ось вращения, все остальные точки движутся по окружностям в плоскостях перпендик-х оси вращения.
Фермы
Начинаем искать усилия стержней, рассматривая узлы.
Метод Риттера(проверка)
При нахождении усилий стержней плоской фермы методом выфрезания узлов полезно знать:
1)если в незагруженном узле плоск.фермы сходятся 2 стержня. То усилие в этих стержнях =0
2)если в незагруженном узле плоск.фермы сходятся 3 стержня, из кот-х 2 расоложены на одной прямой, то усилие в 3-м стержне =0, а усилие в первых 2-х равны между собой.
Вращат.дв-е-это такое дв-е, при кот-м ось остается неподвижной, а все др..тела движутся в плоскости перпендикулярной оси вращения.
Введем угол поворота j -как угол между неподв.пл-тью и плоскостью, связанной с телом
[j]=рад
j=2pn
[N]- число оборотов
Угловая скорость w=dj/dt, [wj]=рад/c=c-1
j=f(t)
Вектор угл.скорости w лежит на оси вращения и направлен в сторону, что с конца этого вектора вращение кажется видимым против часовой стрелки.
Угловое ускорение e опр-ся по ф-ле:
e=dW/dt=d2j/dt2, [Помилка! Помилка зв'язку.]= рад/c2=c-2.
Вектор углового ускорения e также лежит на оси вращения и направлен по вектору w, если вращение ускорено и противоположен ему, если вращение замедлено.
[n]-число оборотов в мин.=об/мин, тогда w=pn/30/
Частный случай вращат.дв-я:
1)равномерное вращение.. j=wt
2)равнопеременное вращение: e=const. j=wо t+et2/2;
w=wо+et
dw/dt=e
dw=e dt
ò dw=òe dt
w-wо=eò dt
w2 -wо2 =2ej
dj/dt=wо+et
ò dj=òwоdt+òetdt
j-jo=wоòdt+eòtdt
j-jo=w оt+e(t2/2)
Определение линейной скорости и лин.ускорения при вращат.движении твердого тела
S=hj
ds/dt=h(dj/dt)
V=hw, dv/dt=h(dw/dt)
Wt=he
Wn=v2/h=(w2h2)/h=w2h
Полное ускорение W=Ö Wn2+ Wt2=hÖw2+e2
tga=ïWtï/ Wn=ïeï/w2
Вывод: при вращ.дв-ии тв.тела линейная скорость касательная нормальной и полное ускорение пропорциональны растоянию точки от оси вращения.
Векторные ф-лы для опр-я скорости и ускорения при вращат.движении.
v=[w´r]-ф-ла Эйлера
v=w´r´sin(w,r)
v=w´h
Wt=[e´r], Wt=e´r´sin[e´r]=he,
Wn=[w[w´ r]]=[ w´v]
Wn=w´v´ sin(w´v)= w´v=w2h
Производ.от вектора пост.по модулю под скалярным аргументом
ïвï=const=в
dв/dt, (вв)=в2, 2[в(dв/dt)]=0 Þ dв/dt ^в.
ïdв/dtï=ïdвï/dt=в(dj/dt)=w в.
dв/dt=[w в]
Производная от времени, причем ïвï=const, равна векторному произведению угловой скорости вращения этого вектора на сам этот вектор.
dτ/dt= (dτ ds)/(ds dt)= (dτ/dφ)( dφ/dt)
ïdτ/dφï=1
dτ/dt=w n
dτ/dt=[wτ]
Теорема о проекциях скоростей
При любом движении твердого тела проекция скоростей 2-х точек этого тела на прямую их соединяющих равны.