Система автоматического регулирования температуры клея в блокообрабатывающем агрегате бесшвейног (стр. 7 из 11)

Построим графики ЛАЧХ и ЛФЧХ для разомкнутой непрерывной системы управления.

рад/с

Рис. 4.3.9. График ЛАЧХ разомкнутой непрерывной системы управления

Рис. 4.3.10. График ЛФЧХ разомкнутой непрерывной системы управления

Проведем анализ влияния чистого запаздывания

на качество работы непрерывной системы. Для данной системы управления заданы следующие требования показателей качества:

;

Таким образом, для данной системы управления фактические значения критериев качества удовлетворяют условиям. И значит, параметры управляющего устройства рассчитаны правильно.

4.4. Обоснование математической модели цифровой системы управления

На рис. 4.4.1 изображена математическая модель цифровой системы управления с АЦП. Здесь W₀(p) — передаточная функция объекта, k_д — коэффициент передачи датчика, k_у — коэффициент передачи усилителя, УСО — устройство сопряжения с объектом.

Рис. 4.4.1. Математическая модель цифровой системы управления

Однако эта модель не учитывает работу дискретных элементов управления. Используем для описания кодовых сигналов u_n и y_n дискретное преобразование Лапласа. Для этого заменим аналого-цифровой преобразователь импульсным ключом, который формирует из исходного непрерывного сигнала u_y(t)модулированную последовательность d-импульсов u*(t), следующих с периодом T_М. В комплексной области этой последовательности соответствует изображение U*(z), где z =

— комплексная переменная, зависящая от оператора Лапласа «p».

Поскольку вычислительное устройство реализует ПИ-закон управления, то его импульсная передаточная функция имеет вид:

W_ВУ(z) = k_П +

. (1)

Здесь k_П — коэффициент передачи пропорциональной части, k_И — коэффициент передачи интегральной части ВУ.

Найдем теперь рекуррентное уравнение, описывающее работу ВУ в реальном времени.

Поскольку

W_ВУ(z) =

, (2)

где Y*(z) — комплексное изображение модулированного по времени выходного сигнала y(t), то мы имеем:

= k_П + .

Отсюда получаем:

(z – 1) · Y*(z) = [k_П(z – 1) + k_ИT_Мz] · U*(z),

или

zY*(z) – Y*(z) = (k_П + k_ИT_М)zU*(z) – k_ПU*(z).

Перейдем теперь из комплексного пространства Z к дискретной вещественной переменной t_n = nT_М, где n — номер цикла работы ВУ. Для этого используем соотношения:

zY*(z) ¬ y_{n + 1};

Y*(z) ¬ y_n; (3)

zU*(z) ¬ u_{n + 1};

U*(z) ¬ u_n.

В результате имеем:

y_{n + 1} – y_n = (k_П + k_ИT_М)u_{n + 1} – k_Пu_n,

или

y_{n + 1} = y_n + k_ИT_Мu_{n + 1} + k_П(u_{n + 1} – u_n). (4)

Формула (4) описывает алгоритм работы вычислительного устройства с ПИ-законом управления, имеющего передаточную функцию (1). На выходе вычислительного устройства действует гипотетическая последовательность d-импульсов y*(t). Эти модулированные d-импульсы можно преобразовать в физический сигнал с помощью формирующего устройства, имеющего передаточную функцию:

W_ФУ(p) =

. (5)

Такое устройство преобразует каждый d-импульс в последовательности y*(t) в прямоугольный импульс, имеющий длительность T_М и амплитуду y_n. На рис. 4.4.2 показана математическая модель цифровой системы управления с импульсным ключом.

Рис. 4.4.2. Математическая модель цифровой системы управления
с импульсным ключом

Приведем теперь входной сигнал x_зад(t) к входу импульсного ключа, т. е.:

u_зад(t) = k_дk_уx_зад(t). (6)

В комплексной области этому сигналу соответствует изображение

. Непрерывные элементы системы управления можно объединить в передаточную функцию:

W_н(p) = W₀(p)k_дk_у

. (7)

Для передаточной функции непрерывной части можно найти импульсную передаточную функцию:

= [W_н(p)]*. (8)

В результате мы получаем математическую модель приведенной цифровой системы управления, которая изображена на рис. 4.4.3.

Рис. 4.4.3. Математическая модель приведенной цифровой системы управления

Импульсный ключ на этой модели не показан, поскольку здесь действуют только модулированные сигналы.

4.5. Определение передаточной функции цифровой системы

Передаточная функция непрерывной части имеет вид:

(1)

Введем параметр

и перепишем формулу:

(2)

Разложим эту передаточную функцию на два слагаемых методом неопределенных коэффициентов, получим:

(3)

Отсюда имеем систему уравнений:

Находим ее решение:

В результате получаем:

(4)

По таблицам дискретного преобразования Лапласа находим:

; ; (5)

; . (6)

Тогда импульсную передаточную функцию непрерывной части можно записать:

(7)

или:

. (8)

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы управления равна произведению передаточных функций непрерывной части

и вычислительного устройства :

; (9)

или

. (10)

где

- безразмерный коэффициент передачи по каналу

пропорционального управления.

.

- безразмерный коэффициент передачи по каналу

интегрального управления.

.

Найдем дискретную передаточную функцию замкнутой системы:

(11)

или

. (12)

Введем обозначения:

;

.

Отсюда имеем:

. (13)

4.6. Анализ устойчивости цифровой системы управления

Устойчивость цифровой системы управления исследуется по характеристическому полиному:

A(z) = z² + a₁z + a₀, (1)

представляющему собой знаменатель импульсной передаточной функции замкнутой системы.

В устойчивой системе корни z₁ и z₂ характеристического уравнения: