Этапы развития логики как науки и основные направления современной символической логики (стр. 5 из 16)

Лейбниц является предшественником логицизма в том смысле, что он предложил сведение математики к логике и математизацию логики: построение самой логики как некоторой арифметики или буквенной алгебры. Но Лейбниц был предшественникам логицизма и в том, что пытался создать арифметизированное логическое исчисление, о котором мы говорили.

Покажем, как это делал Лейбниц. Возьмем такой категорический силлогизм:

+70, -30 +10, -3

Всякий мудрый есть благочестивый.

+70, -33 +8, -11

Некоторые мудрые богаты.

+8, -11 +10, -3

Некоторые богатые благочестивы.

Сверху над понятием написан выбранный наудачу правильный (по Лейбницу) набор характеристических чисел для терминов посылок. Истинность общеутвердительного суждения “Все S суть Р” (первая посылка) выражается тем, что обе характеристики субъекта делятся на соответствующие характеристики предиката, т. е. 70 (точно, без остатка) делится на 10, а - 33 делится на - 3, и числа, стоящие на диагоналях, - взаимно простые, т. е. + 70 и - 3 так же, как

-33 и + 10, взаимно простые числа. Истинность частноутвердительного суждения, по Лейбницу, должна выражаться таким правилом: числа, стоящие на диагоналях, должны быть взаимно простыми, т. е. не иметь общих делителей, кроме единицы.

+70,-33 +8,-11

Посылка “Некоторые мудрые богаты” имеет такие числа:

т. е. на обеих диагоналях стоят взаимно простые числа.

И заключение этому правилу также удовлетворяет, ибо на диагоналях стоят взаимно простые числа:

Истинность общеотрицательного суждения “Ни одно S не есть Р” у Лейбница выражалась тем, что по крайней мере на одной диагонали стоят не взаимно простые числа. Истинность частноотрицательного суждения выражалась тем, что по крайней мере одна из характеристик субъекта не делится на соответствующую характеристику предиката.

Чтобы воспользоваться исчислением Лейбница, нужно рассуждение облечь в форму силлогизма и посмотреть, правильный он или неправильный. Однако построенная Лейбницем система удовлетворяла этому требованию только в применении к правильным, по Аристотелю, построенным силлогизмам. Автором в стоящего учебника доказано, что все 19 правильных, по Аристотелю, модусов силлогизма окажутся правильными и по критерию Лейбница. Но в отношении неправильных модусов категорического силлогизма Аристотеля дело обстоит по-иному. Всегда можно построить такой пример, когда при разных правильных набоpax числовых характеристик для посылок получаются разные оценки заключения: в одних случаях оно оказывается истинным, в других - ложным.

Исчисление Лейбница, таким образом, не выдержало проверки, что, конечно, заметил и сам Лейбниц, перешедший в дальнейшем к построению буквенного исчисления по образцу алгебры. Но тоже неудачно.

Однако в этих замыслах Лейбница не все было неверно. Сам по себе метод арифметизации в математической логике играет весьма существенную роль как вспомогательный прием. В нем состоит, например, сущность метода, с помощью которого известный австрийский математик и логик К. Гёдель доказал неосуществимость лейбницевой мечты о создании такой всеобщей характеристики, которая позволит заменить все человеческое мышление вычислениями.

Ложной была именно метафизическая идея Лейбница о сведении всего человеческого мышления к некоторому математическому исчислению. Поэтому были ложны и вытекающие из нее следствия.

Интенсивное развитие математическая логика получила в работах Д. Буля, Э. Шрёдера, С. Джевонса, П. С. Порецкого и других логиков.

Английский логик Джордж Буль (1815-1864) разрабатывал алгебру логики - один из разделов математической логики. Предметом его изучения были классы (как объемы понятий), соотношения между ними и связанные с этим операции. Буль переносит на логику законы и правила алгебраических действий.

В работе “Исследование законов мысли”', которая оказала большое влияние на развитие логики. Буль ввел в логику классов в качестве основных операций сложение (“+”), умножение (“ * ” или пропуск знака) и вычитание (“-”). В исчислении классов сложение соответствует объединению классов, исключая их общую часть, а умножение - пересечению. Вычитание Буль рассматривал как действие, противоположное (opposite) сложению, - отделение части от целого, то, что в естественном языке выражается словом “кроме” (except).

Будь ввел в свою систему логические равенства, которые он записывал посредством знака “ = ”, соответствующего связке “есть”. Суждение “Светила суть солнца и планеты” в виде равенства им записывается так: х = у + z, откуда следует, что х - z =у. Согласно Булю, в логике, как и в алгебре, можно переносить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком. Будь открыл закон коммутативности для вычитания: х-у = -у+х и закон дистрибутивности умножения относительно вычитания: z(x - у} = zx - zy. Он сформулировал общее правило для вычитания: “Если от равных вычесть равные, то остатки будут равными. Из этого следует, что мы можем складывать или вычитать равенства и употреблять правило транспозиции точно так же, как в общей алгебре”2.

Предметом исследования ученого были также высказывания (в традиционной логике их называют суждениями). В исчислении высказываний, по Булю, сложение (“ + ”) соответствует строгой дизъюнкции, а умножение (“ * ” или пропуск знака) - конъюнкции.

Чтобы высказывание записать в символической форме, Буль составляет логическое равенство. Если какой-либо из терминов высказывания не распределен он вводит термин V для обозначения класса, неопределенного в некотором отношении. Для того чтобы выразить частноотрицательное суждение, например: “Некоторые люди не являются благоразумными”, Буль сначала представляет его в форме: “Некоторые люди являются неблагоразумными”, а затем выражает в символах обычным способом.

По Булю, существует три типа символического выражения суждений: Х=VY(только предикат не распределен):

Х= Y (оба термина - субъект и предикат - распределены);

VX = VY (оба термина не распределены).

Диалектика соотношения утверждения и отрицания в понятиях и суждениях у Буля такова: без отрицания не существует утверждения и, наоборот, во всяком утверждении содержится отрицание. Утверждения и отрицания связаны с универсальным классом: “Сознание допускает существование универсума не априори, как факт, не зависящий от опыта, но либо апостериори, как дедукцию из опыта, либо гипотетически, как основание возможности утвердительного рассуждения”'.

Различая живой разговорный язык и “язык” символический, Буль подчеркивал, что язык символов - лишь вспомогательное средство для изучения человеческого мышления и его законов.

Немецкий математик Эрнст Шредер (1841-1902) собрал и обобщил результаты Буля и его ближайших последователей. Он ввел в употребление термин “Logikkalkul” (логическое исчисление), новые по сравнению с Булем символы. В основу исчисления классов он положил не отношение равенства, как это было у Буля, а отношение включения класса в класс, которое обозначал как а

b. Знак “ + ” Буль использовал для обозначения объединения классов, исключая их общую часть, т. е. симметрическую разность (см. рис. Рис. 26

26), а у Шредера знак “+”

обозначает объединение классов без исключения их общей части

Пропуском знака Шрёдер обозначает операцию пересечения классов, например, ab.

Во взглядах Э. Шрёдера на отрицание можно отметить много интересного и нового по сравнению со взглядами Буля. Под отрицанием а1, класса а Шрёдер понимает его дополнение до 11.

Если классов больше двух, то Шрёдер оперировал с ними по сформулированным им правилам. Правило 1: если среди сомножителей некоторого произведения находятся такие, из которых один является отрицанием другого, то произведение “исчезает”, т. е. равно 0. Например, abc • ab1 cd1 = 0, так как имеется b и b1,.

Правило 2: если среди членов некоторой суммы находится хотя бы один, который оказывается отрицанием другого, то вся сумма равна 1:

a+b+c1 +a+c+d1 =1.

Значительное внимание Шрёдер уделил анализу структуры отрицательных суждений. Отрицательную частичку он прилагает к предикату, т. е. вместо “А не есть В” он берет “А есть не-В”, Так, суждение “Ни один лев не является травоядным”, если следовать идеям Шрёдера, надо заменить на суждение “Все львы являются нетравоядными”.

Класс а1, как отрицание класса а Шрёдер считает очень неопределенным. И в доказательство этой мысли приводит такой пример. Понятие “несражающийся” (в армии) охватывает: саперов, полковых ремесленников, служащих лазарета, врачей, которые относятся к армии, но не сражаются.

Опираясь на законы де Моргана, Шрёдер проводит анализ языка разговорной речи. Выражение с

а1,b1, в речи означает, что “каждое с есть не- а и (одновременно) не-b”. Для него можно выбрать другое выражение: “Каждое с не есть ни a, ни b”. Это конъюнктивное суждение, примером которого может быть: “Каждая рыба - не птица и не млекопитающее”. Другое суждение: “Никакая рыба не есть птица и млекопитающее” - означает в символическом виде с (аb)1,, что эквивалентно, на основании правила де Моргана, с a1, +b1. Так называемое отрицательное по связке суждение “ни а, ни b не есть с” представляется в виде а + b c1) .