Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 11 из 21)

-неверное неравенство

, мы получим верное неравенство ;

-неверное неравенство

, мы получим неверное неравенство .

Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств.

Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны. [16]

3.2. Методы решения иррациональных неравенств

3.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств

Основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств. [17]

Наиболее простые иррациональные неравенства имеют вид:

1)

или ;

2)

или ;

3)

или .

Иррациональное неравенство

или равносильно системе неравенств

или . (1)

Первое неравенство в системе (1) является результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональное неравенство

или равносильно совокупности двух систем неравенств

или . (2)

Обратимся к первой системе схемы (2). Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе – условие, при котором это можно делать.

Вторая система схемы (2) соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства – арифметический корень – неотрицательна при всех x, при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональное неравенство

или равносильно системе неравенств

или . (3)

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство

выполняется при этом автоматически.

Схемы (1)–(3) – наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи. Разберем несколько примеров. [8]

Пример 1. Решить неравенство

.

Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство

.

Решение. Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного неравенства отрицательна, а левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию

.

Ответ.

.

Пример 3. Решить неравенство

.

Решение. В соответствии со схемой (1) решения неравенств этого типа, запишем равносильную ему систему рациональных неравенств

Условие

выполнено при всех x, и нет необходимости добавлять его к выписанной системе.

Ответ.

.

Пример 4. Решить неравенство

.

Решение. Это неравенство решается при помощи схемы (2). В данном случае

, поэтому можно сразу записать неравенство, равносильное исходному

.

Ответ.

.

Пример 5. Решить неравенство

.

Решение. Это неравенство может быть решено при помощи схемы (1). Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид

.

Ответ.

.

Пример 6. Решить неравенство

.

Решение. Данное неравенство можно решать с помощью схемы (2). Оно равносильно совокупности двух систем

Ответ.

.

Пример 7. Решить неравенство

.

Решение. Согласно схеме (3), данное неравенство равносильно системе

Ответ.

Рассмотрим решение иррациональных неравенств следующего вида

.

Поскольку

, , то должны выполнятся условия , , (соответственно ). На множестве, где эти условия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству

(соответственно неравенству

), которое сводится к разобранным выше типам неравенств. [4]

Пример 8. Решить неравенство

.

Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств: