Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 6 из 21)
Пример 3. Решить уравнение
.Решение. Это уравнение равносильно системе
Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению
, получим корни 
и 
.Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.
Ответ.
.Полезно запомнить схему решения еще одного вида иррациональных уравнений
. Такое уравнение равносильно каждой из двух систем 
Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие
. Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство 
(или 
). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще. [9]Пример 4. Решить уравнение
.Решение. Это уравнение равносильно системе
Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению
, получим корни 
и 
. Однако при этих значениях x не выполняется неравенство 
, и потому данное уравнение не имеет корней.Ответ. Корней нет.
2.2.2. Метод уединения радикала
При решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение в виде
. Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ую степень радикал справа исчезнет. [4]Пример 5. Решить уравнение
Решение. Метод уединения радикала приводит к уравнению
. Это уравнение равносильно системе 
Решая первое уравнение этой системы, получим корни
и 
, но условие 
выполняется только для 
.Ответ.
.Пример 6. Решить уравнение
.Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение
,равносильное исходному.
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
, 
.Последнее уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, приходим к уравнению
, 
.Это уравнение является следствием уравнения исходного уравнения и имеет корни
, 
. Первый корень удовлетворяет исходному уравнению, а второй – не удовлетворяет.Ответ.
. 2.2.3. Метод введения новой переменной.
Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно. [6], [17]
Пример 7. Решить уравнение
.Решение. Положив
, получим существенно более простое иррациональное уравнение 
. Возведем обе части уравнения в квадрат: 
.Далее последовательно получаем:
; 
; 
; 
; 
, 
.Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение
показывает, что 
– корень уравнения, а 
– посторонний корень.Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение
, то есть квадратное уравнение 
, решив которое находим два корня: 
, 
. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.Ответ:
, 
.Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в квадратное.
Пример 8. Решить уравнение
.Решение. Перепишем уравнение так:
.Видно, что если ввести новую переменную
, то уравнение примет вид 
, откуда 
, 
.Теперь задача сводится к решению уравнения
и уравнения 
. Первое из этих решений не имеет, а из второго получаем 
, 
. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.