Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 19 из 21)

Приложение В

Разработка факультативного занятия на тему «Способ рационализации при решении иррациональных уравнений»

Ход занятия

Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей.

Способ решения иррациональных уравнений, основанный на применении рационализирующих подстановок, назовем способом рационализации.

Применяя рационализирующую подстановку, необходимо следить за тем, чтобы область определения нового рационального уравнения, получаемого в результате этой подстановки, соответствовала области определения данного иррационального уравнения. Только при этом условии рационализирующая подстановка приведет рассматриваемое иррациональное уравнение к рациональному уравнению, которое всюду в области его определения эквивалентно данному.

Рассмотрим рационализацию некоторых выражений, содержащих радикалы, с помощью рационализирующих подстановок и применение этих подстановок при решении иррациональных уравнений.

1. Рационализация выражения

Выражение вида

, (1)

где

обозначает рациональную функцию, и – постоянные, а – любое целое положительное число, рационализируется подстановкой

. (2)

Действительно, возводя обе части равенства (2) в

-ую степень, получим , откуда , причем функция рациональна. Следовательно,

.

Поскольку рациональная функция от рациональной функции представляет собой также рациональную функцию, то выражение, стоящее в правой части последнего равенства, является рациональным.

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. ОДЗ рассматриваемого уравнения

. Рационализирующей подстановкой это уравнение приводится к эквивалентной ему смешанной системе

или (сокращая дробь на

) системе

Решением последней будет

. Воспользовавшись подстановкой, получим .

Ответ:

.

2. Рациональность дробно-линейных иррациональностей

Аналогично предыдущему доказывается, что функция вида

, (3)

где

, , и – некоторые постоянные, а – любое целое положительное число (дробно-линейная иррациональность), может быть при условии приведена к рациональному виду подстановкой

(4)

Иррациональная функция

(5)

рационализируется при помощи подстановки

(6)

где

– наименьшее общее кратное показателей радикалов , , …

Пример 2. Решить уравнение

.

Решение. Будем искать корни данного уравнения в области

(очевидно, что числа и не являются его корнями). Разделим обе части уравнения на :

.

Полученное уравнение в рассматриваемой области с помощью рационализирующей подстановки

сводится к смешанной системе

эквивалентной ему в этой области. Определив решения этой системы

и и воспользовавшись подстановкой, находим корни исходного уравнения.

Ответ:

.

3. Рационализация биноминальных выражений

Можно доказать, что выражение

, (7)

где

и – постоянные, а показатели степеней , – некоторые рациональные числа, допускает рационализирующие подстановки только в трех случаях, когда оказывается целым одно из чисел , или .

В этих случаях возможны следующие подстановки:

Если

– целое, то , где – наименьшее общее кратное знаменателей чисел и .

Если

– целое, то , где – знаменатель числа .

Если

– целое, то , где – знаменатель числа .

Существование указанных трех рационализирующих подстановок доказывает возможность приведения к рациональному виду уравнений

в первом случае и во втором и третьем случаях.

Пример 3. Решить уравнение

.