Выбор оптимального портфеля ценных бумаг инвестиционным отделом "ПриватБанка" (стр. 9 из 15)
Окончательно:
или  | (3.8) |
Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска:
или 
. Видно, что эти зависимости линейные.Полученный оптимальный портфель называется портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина – это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых бумаг.
Решая задачу с помощью табличного процессораExcel и его надстройки Поиск решения, получим:
=0,51х0=0,08; х1 =0,25; х2=0; х3=0; х4=0,44; х5=0,23.
Рис. 3.3 – Оптимальный портфель ценных бумаг Тобина минимального риска.
3.4.2 Портфель Тобина максимальной эффективности и заданного риска
 | (3.9) |
Получим следующее решение (рис. 3.4):
=12,31% х0=0,4; х1 =0,6; х2=0; х3=0; х4=0; х5=0. 
Рис. 3.4 – Оптимальный портфель Тобина максимальной эффективности
3.5 Формирование оптимального портфеля с помощью ведущего фактора финансового рынка
В реальности доходности ценных бумаг зависят от факторов финансового рынка. В роли ведущего фактора финансового рынка удобнее всего брать среднюю доходность рисковых бумаг самого финансового рынка.
Обозначим этот фактор как fи будем считать, что доходности всех ценных бумаг зависят от него. Пусть d – доходностькакой-либо фиксированной ценной бумаги. Простейшая форма зависимости – линейная, так что примем гипотезу, чтоdлинейно зависит от f
. Так как обе величины d, f– случайны, то равенство врядли может быть точным. Найдем a и b.Попробуем подобрать такую зависимость
, чтобы 
было минимальным. Имеем  | (3.10) |
Дифференцируя
частным образом по а и bприравниваем частные производные 0, получим систему уравнений 
.Решая эту систему, получим:
 | (3.11) |
Найдем математическое ожидание случайной величины
, являющейся функцией от случайной величины D. Имеем 
. Значит, в частности, при найденных a, bдля математических ожиданий случайных величин D, Fверно не приближенное равенство, а точное. 
.На практике совместное распределение случайных величин (F, D) не известно, известны только результаты наблюдений, т.е. выборка пар (f,d)значений (F, D). все рассмотренные величины заменяются их выборочными аналогами. Так, для определения a, b получим систему уравнений:
 | (3.12) |
Решая эту систему, получим
, значит, прямая линия регрессии имеет уравнение 
. Через 
обозначим выборочные аналоги корреляционного момента случайной величины F, D и дисперсии F соответственно.Также можно убедиться, что для средних арифметических значений верно точное равенство, т.е.
Обычно вместо буквы
используют букву 
. Этот коэффициент так и называют «бета ценных бумаг i – ого вида относительно рынка. Эта величина определяет влияние рынка на данные ценные бумаги: если 
, то доходность бумаг i – ого вида колеблется в такт с рынком, а если 
, то поведение бумаги прямо противоположно колебаниям доходности рынка в целом.Вариация доходности каждой ценной бумаги равна
, т.е. состоит из двух слагаемых: «собственной» вариации 
, не зависящей от рынка, и «рыночной» части вариации 
, определяемой случайным поведением рынка в целом. Их отношение 
обозначается 
и называется R-squared. Это отношение характеризует долю риска данных ценных бумаг, вносимую рынком. те бумаги, для которых R-squared велико, в каком-то смысле предпочтительнее, так как их поведение более предсказуемо.Найдем параметры линейной регрессии по выборке, представленной в таблице 3.1. Изобразим данные и регрессионную зависимость между ними на графиках (рис. 3.5).
Таблица 3.2. Данные по доходности финансового рынка и ценных бумаг Центрэнерго за определенный период
| Период | 03.01–10.01 | 11.01–17.01 | 18.01–24.01 | 25.01–01.02 | 01.02–07.02 | 08.02–14.02 | 14.02–21.02 |
| F | 4 | 5 | 6 | 5 | 5 | 6 | 7 |
| x1 | 7 | 8 | 10 | 10 | 8 | 7 | 9 |
Рис. 3.5 – Изменение доходности рынка за счет изменения доходности ценных бумаг Центрэнерго
Регрессия dнаf имеет вид: d = 0.2794f + 13.074. Следовательно, случайная величина остаточных колебаний е есть d – 0.2794f -13.074. Найдем вариации остатков, составив ряд значений е (табл. 3.3):
Таблица 3.3. Вариации остаточных колебаний курса ценных бумаг Центрэнерго
| 03.01–10.01 | 11.01–17.01 | 18.01–24.01 | 25.01–01.02 | 01.02–07.02 | 08.02–14.02 | 14.02–21.02 |
| -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 1 | 1 |
Среднее, естественно, равно 0, и потому
.Далее,
=0,279, 
, 
=13,074+19 (0,279–1)=-0,626.Таблица 3.4. Данные по доходности финансового рынка и акций Днепрэнерго за определенный период
| Период | 03.01–10.01 | 11.01–17.01 | 18.01–24.01 | 25.01–01.02 | 01.02–07.02 | 08.02–14.02 | 14.02–21.02 |
| F | 14 | 15 | 16 | 15 | 15 | 16 | 17 |
| x2 | 6 | 6 | 7 | 4 | 4 | 6 | 7 |
Рис. 3.6 – Изменение доходности финансового рынка за счет изменения доходности акций Днепрэнерго.
Регрессия dнаf имеет вид: d=0.4091f+13.091. Следовательно, случайная величина остаточных колебаний е естьd-0.4091f-13.091. Найдем вариации остатков, составив ряд значений е (табл. 3.5):
Таблица 3.5
Вариации остаточных колебаний курса ценных бумаг Днепрэнерго
| 03.01–10.01 | 11.01–17.01 | 18.01–24.01 | 25.01–01.02 | 01.02–07.02 | 08.02–14.02 | 14.02–21.02 |
| -1,5 | -0,5 | 0 | 0,2 | 0,3 | 0,5 | 1 |
Среднее, естественно, равно 0, и потому
.