Экономические риски причины их возникновения и способы снижения (стр. 4 из 10)
Поэтому имеет смысл рассмотреть формирование моделей ожидаемой полезности с исторической точки зрения. В частности впервые об ожидаемой полезности стало известно из работ Д. Бернулли. Как уже было отмечено в начале работы, в процессе исследования т. н. Санкт-Петербургского парадокса были выдвинуты предположения о том, что индивид руководствуется оптимизацией не ожидаемого выигрыша, а ожидаемой полезности. Напомним, что суть этого парадокса заключалась в игре, в которой подбрасывалась монета до тех пор, пока не выпадет герб. Причем выигрыш будет равен
ден. единиц. Если составить закон распределения случайной величины выигрыша, то значения будут такими: 2, 4, 8, 16 и т.д… ( 
), - а вероятности будут соответствовать 
и т.д… . Нетрудно подсчитать по формуле математического ожидания, что ожидаемый доход будет равняться 
. В ответ на это Бернули вместе с известным математиком Г. Крамером предложили, что в данной ситуации для человека важен не математический подсчет ожидания, а его субъективная оценка. Зависимость между исходами и их ценностью для индивида показывает полезность и кривые безразличия. Функция полезности, предложенная Бернулли, имеет логарифмический вид (приложение Г), тем самым показывая убывание по мере роста богатства (в данном случае выигрыша). Так же он показал, что ожидаемая полезность, имеющая вид , будет конечна (ряд сходится). Однако он не ставил перед собой задачи измерения полезности, и не пытался объяснить, почему его принцип ожидаемой полезности можно считать рациональным. Вместе с тем эту теорию впоследствии неизменно отвергали как правильное объяснение, - обычно потому, что господствующее убеждение в убывающей предельной полезности заставляло считать, что существование азартных игр не может быть объяснено таким образом.Теория Бернулли как таковая является главным образом описательной моделью, хотя для своего времени сам принцип ожидаемой полезности мог выглядеть вполне убедительно.
Формальное доказательство того, что принцип максимизации ожидаемой полезности является критерием рациональности принимаемых решений, т.е. может быть выведен из нескольких аксиом, было проведено лишь в 1947 году Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном. В нем утверждается, что "в условиях, на которых базируется анализ кривой безразличия, легко определить численную полезность[6]", ожидаемое значение которой максимизируется в выборе среди альтернатив, предполагающих риск. И эта концепция применима к исходам любого рода, где денежные выигрыши являются лишь частным случаем (в отличие от модели Крамера и Бернулли). Именно эта общность теории, по мнению многих экономистов[7], и позволила ей стать основой анализа рисковых ситуаций.
Теория ожидаемой полезностиНеймана и Моргенштерна строится на следующих аксиомах:
· Аксиомы полнотыи транзитивности предпочтений. Если рисковая ситуация (далее РС) L1 предпочтительней РС L2, то это можно записать как L1> L2. Полнота означает, что индивид способен всегда оценить, какая РС для него предпочтительней, а какая нежелательней. Транзитивность заключается в то, что, если L1> L2, L2> L3, то L1> L3.
· Аксиома непрерывности. Если существуют такие исходы x1,x2,x3 , что x1>x2>x3, существует такая вероятность p для x1, а для x3 –вероятность (1-p), что РС (x1, p; x3, (1-p)) столь же привлекательно, как РС с гарантированным исходом x2. То есть при определенной p индивиду будет всё равно, точно получить какой-то результат или иметь риск получить результат лучше или хуже.
· Аксиома независимости. Если существуют две РС – L1(x1, p; x3, 1-p) и L2(x2,p; x3, 1-p), где x1, x2 могут или связаны, или не связаны с риском – и x1=x2 (равнозначны), то и L1=L2 независимо от x3.
· Если в РС L1(x1, p; x2, 1-p) и L2(x1,q; x2, 1-q) x1>x2, то L1> L2 тогда и только тогда, когда p>q.
· Принцип сведения составных РС. При принятии решения для человека не важен порядок, в котором представлены призы и вероятности в РС, а важно лишь конечное распределение призов в РС, сочетающееся с перемножением составных вероятностей.
Пяти вышеперечисленных аксиом, достаточно, чтобы гарантировать существование такого индекса полезности, при котором ранжирование РС по их ожидаемой полезности полностью соответствует действительным предпочтениям индивида, как считают Д. Нейман и О. Моргенштерн.
Что касается самой функции полезности, то она является единственной с точностью доположительного линейного преобразования. Это означает, что если функция U(x)задает предпочтения индивида относительно исходов x, то функция U*(x) = aU(x)+ b, где a, b – числовые коэффициенты, a > 0, также задает предпочтения индивида относительно x. Оказывается, если подвергнуть функцию ожидаемой полезности положительному линейному преобразованию, то полученная в результате этого функция не только будет представлять те же самые предпочтения, но и по-прежнему будет обладать свойством ожидаемой полезности.
Это также означает, что для этой функции нет зависимости от начала координат и единицы измерения. Например, мы можем произвольно считать началом координат $10 (т.е. положить U(10) = 0, и принять U(10 000) равной, скажем, 100 единицам полезности (ютилям)). Используя эти две точки отсчета, индекс полезности можно легко получить с помощью простых вопросов типа "Какой достоверный доход столь же привлекателен, что и лотерея 50/50 с исходами $10 и $10000?" Если эта сумма равна $x*, то U(x*) полагается равным 0,5U(10) + 0,5U(10 000) = 50 ютилям. До тех пор, пока такая пробная лотерея содержит исходы, полезность которых известна, мы можем определять значения полезности в других точках.
Важную роль в теории ожидаемой полезности играет понятие неприятия риска (подробнее в §5). Выпуклая вверх функция полезности, принимающая вид экспоненциальной кривой, характеризует неприятие риска, а выпуклая вниз – стремление к риску.
С точки зрения измерения полезности теория Неймана и Моргенштерна является кардиналистской, поскольку ее шкала полезности является интервальной. Однако с точки зрения предпочтений, её можно трактовать как ординалистскую, поскольку она обеспечивает лишь порядковое ранжирование лотерей. Поэтому к кардиналистской составляющей теории следует относиться аккуратно. Хотя функции полезности представляют собой интервальные шкалы, т.е. отношения разностей между уровнями полезности независимы относительно линейных преобразований, – это не означает, например, что из x1 > x2 > x3 > x4 и U(x1) – U(x2) > U(x3) – U(x4) следует, что перемещение из x1 в x2 должно быть более предпочтительным, чем перемещение из x3 в x4. Поэтому полезность по Нейману и Моргенштерну нельзя интерпретировать как измерение силы предпочтения в условиях определенности, что качественно отличает ее от неоклассической кардинальной полезности. Это объясняется тем, что предпочтения определяются по крайней мере двумя различными факторами, а именно: 1) силой предпочтений достоверных исходов; и 2) отношением к риску. Функция полезности Неймана и Моргенштерна является составной комбинацией этих двух факторов, которая не требует ни прямого сопоставления интервалов, ни измерения силы предпочтений. Как теория предпочтений она является всецело ординалистской. Тем не менее, она неявнопредполагает, что существует полезность неоклассического кардиналистского типа – иначе было бы психологически невозможно определить достоверный эквивалент рисковых ситуаций.
Существует, еще множество концепций ожидаемой полезности, имеющих различие в функциях полезности, но все так или иначе являются модификацией именно этой модели. Об остальных вскользь упоминается чуть ниже.
Другой аспект модели ожидаемой полезности, в котором наблюдаются различные точки зрения – это определение вероятностей. В аксиоматике теории Неймана и Моргенштерна вероятность рассматривается как элементарное понятие, численное значение которого определено объективно. Однако эмпирически понятие вероятности является куда более проблематичным как с философской, так и с практической точек зрения. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим коротко четыре основные концепции вероятности и пределы возможностей каждой из них.
Первая – это классическая концепция Пьера Лапласа, который определил вероятность как число благоприятных элементарных исходов некоторого события, отнесенное к числу всех возможных элементарных исходов. К недостаткам этой теории можно отнести то, что это определение нелегко применить в случае бесконечного пространства исходов, и оно практически ограничивается только хорошо структурированными ситуациями. К положительным моментам, разумеется, относится формальная наглядность и относительная простота этой модели.
Якоб Бернулли, дядя Даниила Бернулли, еще раньше избежал этой тавтологии, отличив само понятие от его измерения. Он определил вероятность как "степень доверия", которая для каждого события может разниться у разных людей. Тем не менее он полагал, что искусство угадывания заключается в том, чтобы уточнять оценки неизвестных вероятностей, в частности, исследуя объективные частоты. Этот частотный подход позже был положен в основу аксиоматики Джона Венна, Ханса Рейхенбаха и Рихарда фон Мизеса которые определяли вероятность как предельное значение процента благоприятных исходов в бесконечной последовательности независимых испытаний. Такой подход является ограниченным по крайней мере с двух точек зрения. Во-первых, вероятность никогда не бывает точно измеримой численно – в лучшем случае ее можно оценить на очень большой выборке. Во-вторых, часто бывает непонятно, что следует считать пространством возможных исходов – так, если оценивается объективная вероятность попасть в авиакатастрофу, то следует ли брать все предыдущие полеты, или же только на этом маршруте, на этом типе самолета, в это время года и т.д.