О неопределенных бинарных квадратичных формах (стр. 2 из 8)

и, значит,

.

Положив теперь в этом равенстве

, получим

,

т.е. форма

тоже представляет число . Поскольку отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм обладает свойством симметричности (предложение 2) то и любое число, представимое формой будет представимое и формой .

Предложение 3 доказано.

Определение 5. Классом

форм называется множество всех бинарных квадратичных форм, собственно эквивалентных форме .

В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2).

Далее, в зависимости от знака дискриминанта

бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы.

Определение 6. Квадратичная форма

дискриминанта называется определенной, если и неопределенной, если . Такое определение подсказано тем, что при бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при и отрицательные при ), а при она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы.

Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм - «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта будем считать ее коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того будем предполагать, что крайние коэффициенты

и формы отличны от нуля и корни уравнения вещественны, различны и иррациональны.

Назовем корень

этого уравнения первым, а - вторым корнем формы (см. [1]), причем есть дискриминант формы .

Определение 7. Неопределенная квадратичная форма

с корнями называется приведенной, если .

Покажем, что у приведенной формы

выполняются неравенства , , причем и заключаются между и . В самом деле, из условия получаем

,

, , .

Далее,

, , т.е. выполняется указанное неравенство . Обратимся теперь к условиям

и . Из них следуют

, (*)

Аналогично имеем

, (**)

Покажем теперь, что

. Допустим, что . Тогда из неравенств (*) и (**) следуют

и .

Но последние два неравенства не могут одновременно выполняться. Значит, наше допущение, что

неверно и мы получаем неравенства . Наконец, покажем, что

и .

Т.к.

, то из неравенств (*) и (**) получаем . С учетом этих неравенств и равенства , мы получим и неравенства для .

Обратно, система неравенств

или

характеризует приведенность неопределенной формы

. Поэтому определению приведенной формы можно придать следующий вид. Определение 8. Бинарная квадратичная форма дискриминанта называется приведенной, если

или

Без доказательства приведем следующее свойство приведенных форм.

Предложение 4. Каждая форма дискриминанта

собственно эквивалентна некоторой приведенной форме.

Доказательство см. [1,2]. В [1] используется аппарат непрерывной дроби, а в [2] понятие соседней формы.

Определение 9. Целочисленная квадратичная форма

называется собственно примитивной, если наибольший общий делитель ее коэффициентов равен , т.е.

НОД

и несобственно примитивной, если

НОД

. В остальных случаях форма называется не примитивной.

Определение 10. Пусть

- наибольший общий делитель чисел для формы определителя . Множество бинарных квадратичных форм с одними и теми же и (при ) с одним и тем же знаком крайних коэффициентов называется порядком форм.