О неопределенных бинарных квадратичных формах (стр. 3 из 8)
Так как
и знаки получающихся коэффициентов 
при 
не меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то порядок состоит из нескольких классов.При
формы и порядок называются собственно примитивными, а при 
и 
( 
)- несобственно примитивными. Собственно и классы форм называются собственно примитивными и несобственно примитивными.Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.
Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с заданным дискриминантом конечно.
Доказательство см. [2,п.185].
§2. О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений
Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм. Гаусс первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных форм с положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением основных задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные свойства периодов неопределенных форм.
Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из гауссовой теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем (см. [1,2]).
Определение 1. формой соседней справа к целочисленной форме
называется форма 
, которая получается из формы подстановкой 
, где 
-некоторое целое число.Заметим, что при такой подстановке форма
собственно эквивалентна форме . Зависимость между соседними формами 
и 
можно охарактеризовать так: во-первых, формы 
и 
имеют одинаковый дискриминант; во-вторых, последний коэффициент 
формы является вместе с тем первым коэффициентом формы ; в третьих, сумма их средних коэффициентов 
делится на .Аналогичным образом определяется соседняя слева форма
к форме .Из определения соседних форм непосредственно следует
Предложение 1. Соседние формы собственно эквивалентны.
С помощью процесса нахождения последовательных соседних форм мы придем к другому важному понятию периода приведенных форм. Именно, пусть
-приведенная форма дискриминанта 
и для нее 
является соседней справа; для форма 
является соседней справа; для форма 
является соседней справа и т.д. Тогда все формы , , ,…, являются собственно эквивалентными между собой, так и форме .Так как в силу предложения 5 §1 число всех целочисленных приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом конечно, то в бесконечном ряду форм
, , , ,… не все формы могут быть различными между собой. Если предположить, что 
и 
совпадают, то формы 
и 
будут приведенными соседними слева для одной и той же приведенной формы и потому будут совпадать. Поэтому 
и 
и т.д. будут совпадать. Следовательно, в ряду , , ,… обязательно повторится первая форма и если 
- первая форма в этом ряду, совпадающая с , то все формы , , , ,…, 
различны между собой.Определение 2. Совокупность различных последовательных соседних приведенных неопределенных форм
, , ,…, называется периодом формы .Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их определения (см. [2]).
Предложение 2. Если формы
, , ,… представлены следующим образом 
, 
, 
,…, 
, 
, 
,…, то все величины 
будут иметь одинаковые знаки, причем 
все будут положительны.