О неопределенных бинарных квадратичных формах (стр. 5 из 8)
Теорема 2. Для того чтобы двусторонние примитивные приведенные формы
и 
из двустороннего класса дискриминанта 
были соседними необходимо, чтобы 
, где 
- целая часть числа 
.Доказательство. Пусть формы
и соседние. Тогда 
, где 
- некоторое целое число. Так как и - двусторонние формы, то 
и 
, где последнюю делимость можно заменить следующим условием: 
или что тоже самое 
, откуда 
. Тогда в силу взаимной простоты 
и 
(это следует из примитивности формы ) из условий делимости и следует, что 
. Но так как 
, то 
или что тоже самое 
. Из последнего условия делимости следует неравенство 
, откуда 
. Но так как форма приведенная, то для числа 
должны выполняться неравенства 
, из которых в свою очередь следует, что .Теорема 2 доказана.
Пример. Для
следующие четыре периода по две соседние двусторонние формы 
, 
, 
, 
, 
При этом эти формы удовлетворяют теореме 2, т.к.
.Замечание. Из полученной теоремы следует, что приведенные двусторонние формы будут соседними в очень малом числе случаев и в большинстве случаев они не будут соседними. Вопрос о точном числе случаев, когда приведенные двусторонние формы будут соседними по-видимому является очень трудным и мы его не рассматриваем.
§3. Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм.
О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и о числе классов неопределенных квадратичных форм известно очень мало. Для числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле. Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому математику Зигелю.
,где
- число приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта ; 
и 
- положительные постоянные, зависящие от 
; причем - любое фиксированное положительное число. Наша цель состоит в том, чтобы элементарным способом доказать верхнюю оценку в неравенствах Зигеля для . Приводимое доказательство будет опираться на некоторые свойства функции числа положительных делителей натурального числа и мы их приведем вначале.Арифметическая функция
определяется как число положительных делителей натурального числа 
.Предложение 1. Функция
мультипликативна, т.е. 
, если 
.Из этого предложения 1 легко выводится следующее
Предложение 2. Если
- каноническое разложение натурального числа , то 
.Доказательства предложений 1 и 2 приводятся во всех учебниках по теории чисел (напр. см. [4,6]).
Предложение 3. Для числа
делителя натурального числа имеет место неравенство 
.Доказательство. Пусть
и 
- канонические разложения чисел 
и 
, и пусть 
, 
,…, 
- все простые делители наибольшего общего делителя чисел и . Тогда ясно, что 
. (1)Но так как справедливо неравенство
, (2)то неравенство (1) с учетом (2) и предложения 2 перейдет в следующие соотношения
.Предложение 3 доказано.
Предложение 4. Для
имеет место неравенство 
,где
- произвольное положительное число, 
- постоянная, зависящая только от .Доказательство. Мы следуем рассуждениям в [4,5] (доказательство имеется также в [3]). Пусть
- каноническое разложение числа 
. Тогда имеем