О неопределенных бинарных квадратичных формах (стр. 4 из 8)

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 3. Количество квадратичных форм, из которых состоит период заданной формы

всегда четно.

Доказательство предложения 3 см. [1,2].

Заметим, что каждая форма

, которая содержится в периоде формы будет иметь тот же период, что и .Именно, этот период будет таков:

.

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.

Доказательство (см. [2] разд. V, п.187) основано на том их свойстве, что периоды либо совпадают либо они попарно не пересекаются и каждая форма попадет только в один из периодов.

Пример. Все приведенные неопределенные формы с дискриминантом

разбиваются на следующие шесть периодов:

I.

;

II.

;

III.

;

IV.

;

V.

;

VI.

.

Видим что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.

Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных бинарных квадратичных форм.

Определение 3. Формы

и , и их классы называются обратными: если - один из этих классов, то другой класс будет обратным к классу в смысле композиции классов.

Замечание. Так как форма

переводится в форму подстановкой определителя , то каждая форма класса несобственно эквивалентна каждой форме из обратного класса и обратно, при несобственной эквивалентности двух форм их классы будут обратными. (при этом еще учитывается, что если форма несобственно эквивалентна , а собственно эквивалентна , то несобственно эквивалентна ).

Определение 4. Класс бинарных квадратичных форм, совпадающий с обратным, называется двусторонним классом.

Из этого определения с учетом сделанного выше замечания получается

Предложение 5. Каждая форма двустороннего класса несобственно эквивалентна самой себе.

Доказательство. Пусть

- двусторонний класс и . Покажем, что несобственно эквивалентна самой себе. Обозначим .

Тогда форма

и пусть переводится в подстановкой и запишем это в следующем виде: . Т.к. - двусторонний класс, т.е. , то . Но так как , то и собственно эквивалентны, то найдется подстановка определителя , что . Тогда получаем , т.е. . Но так как , то форма несобственно эквивалентна самой себе.

Предложение 5 доказано.

Определение 5. Форма

, в которой делится на , называется двусторонней.

Следующие два предложения дают некоторую информацию о строении двусторонних классов.

Предложение 6. В каждом двустороннем классе содержится по крайней мере одна двусторонняя форма.

Предложение 7. В каждом двустороннем классе положительного дискриминанта содержатся две и только две приведенные двусторонние формы.

Доказательство этих предложений имеются в [1,2].

Перейдем теперь к изложению основных результатов этого параграфа. Возникает еще вопрос: всегда ли двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу. Ответ дает следующая теорема

Теорема 1. Каждая двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу .

Доказательство. Пусть

- двусторонняя форма, т.е. ( делится на ) и обозначим ее класс через . Покажем, что -двусторонний класс. По определению обратная к форме . Так как , то форма переводится в себя подстановкой . Далее имеем, что переводится в подстановкой

определителя 1, т.е.

и собственно эквивалентны. Тогда они принадлежат одному и тому же классу, т.е. и значит, - двусторонний класс.

Теорема 1 доказана.

В связи с предложением 7 возникает еще следующий вопрос: могут ли быть в периоде форм двустороннего класса приведенные двусторонние формы соседними друг другу? Следующее утверждение дает необходимое условие того, что двусторонние приведенные формы будут соседними.