Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени (стр. 10 из 14)

Соотношение (2.24) определяет в трехмерном псевдоевклидовом пространстве геометрическое место точек, радиус-векторы которых являются изотропными. Это геометрическое место точек представляет собой уже не две прямые, как в псевдоевклидовой плоскости, а поверхность. Такой поверхности нет в собственно евклидовом трехмерном пространстве. Для того чтобы придать хотя бы условную наглядность описанию метрических свойств трехмерного псевдоевклидова пространства, мы будем отображать его на трехмерное собственно евклидово пространство, пользуясь совпадением линейных свойств этих пространств. Если каждой точке с координатами х, у, z в псевдоевклидовом пространстве мы поставим в соответствие точку с такими же координатами в пространстве собственно евклидовом, то получим взаимно однозначное отображение одного пространства на другое с сохранением линейных свойств. Именно такое отображение представлено на рис. 4. Метрические свойства псевдоевклидова пространства могут быть переданы в этом отображении лишь условно. Уравнению (2.24), определяющему множество изотропных; радиус-векторов в псевдоевклидовом пространстве, соответствует в собственно евклидовом пространстве, отнесенном к ортонормированной системе координат, поверхность прямого кругового конуса с осью OZ. Поэтому и саму отображаемую поверхность (2.24) в псевдоевклидовом пространстве называют конусом, а именно изотропным конусом.

Рис. 4.

Внутренняя область изотропного конуса (2.24), т.е. область, содержащая ось OZ, описывается неравенством

или (2.25)

Длина любого радиус-вектора, принадлежащего внутренней области изотропного конуса, выражается мнимым числом. Внутренняя область состоит из двух полостей. Ту полость, точки которой имеют положительную аппликату (z > 0), мы будем называть верхней полостью.

Внешняя область изотропного конуса (2.24) описывается неравенством

или (2.26)

Длина любого радиус-вектора, принадлежащего внешней области изотропного конуса, выражается вещественным числом.

Соотношения (2.24), (2.25), (2.26) служат классифицирующими признаками, по которым любые векторы трехмерного псевдоевклидова пространства относятся к одному из трех типов. Если вектор

где бы ни находилась точка его начала, коллинеарен некоторому изотропному радиус-вектору

( ), то координаты вектора а удовлетворяют соотношению типа (2.24):

и вектор а является изотропным. Аналогично, о всяком векторе, коллинеарном какому-нибудь радиус-вектору внутренней области изотропного конуса (2.24), мы будем говорить, что он принадлежит внутренней области (модуль такого вектора выражается мнимым числом). Всякий вектор, модуль которого выражается вещественным числом, мы будем называть принадлежащим внешней области изотропного конуса.

В трехмерном псевдоевклидовом пространстве, как и в пространстве собственно евклидовом, плоскость однозначно определяется нормалью к ней и точкой, принадлежащей плоскости. Рассмотрим множество всех радиус-векторов

, перпендикулярных к вектору а. Оно описывается уравнением

(2.28),

которое в координатной форме, согласно (2.20), принимает вид

(2.29)

В собственно евклидовом трехмерном пространстве уравнению (2.29) соответствует плоскость, проходящая через начало координат. Но принадлежность множества точек к одной плоскости является линейным свойством пространства, а линейные свойства у собственно евклидова и псевдоевклидова пространств одинаковы. Значит, точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (2.29), лежат в одной плоскости и в псевдоевклидовом пространстве. Это и есть плоскость, проходящая через начало координат перпендикулярно к вектору а.

Если вектор а принадлежит внутренней области изотропного конуса, т.е. для его координат выполняется условие

или (2.30)

то все перпендикулярные к а радиус-векторы имеют длины, выражаемые вещественными числами, как нетрудно убедиться. Представим уравнение (4.29) в виде

(2.31)

Это можно сделать, так как

(см. (2.30)). Подставив выражение (2.31) в (2.23), найдем длину радиус-вектора г произвольной точки плоскости (2.29):

(2.32)

Условие (2.30), наложенное на вектор а, можно переписать в виде:

и получить из него равносильные неравенства

Внося эти неравенства в (2.31), найдем:

.

Поскольку выражение в скобках представляет вещественное число, квадрат его не может быть отрицательным числом. Следовательно,

Это означает, во-первых, что среди радиус-векторов

, принадлежащих плоскости (2.27), нет таких, длина которых выражалась бы мнимым числом. Во-вторых, среди них нет таких ненулевых векторов, длина которых равнялась бы нулю, т.е. нет изотропных векторов. Таким образом, все ненулевые радиус-векторы точек плоскости (2.27) принадлежат внешней области изотропного конуса. Точка начала координат имеет нулевой радиус-вектор и принадлежит изотропному конусу. Поэтому она оказалась исключенной из множества точек, удовлетворяющих неравенству . Однако начало координат принадлежит плоскости (2.27), так как радиус-вектор удовлетворяет уравнению этой плоскости. Итак, мы доказали, что для любого вектора а, принадлежащего внутренней области изотропного конуса, найдется перпендикулярная к нему плоскость, в которой нет ни векторов мнимой длины, ни изотропных векторов, а есть только векторы вещественной длины. Такая плоскость несет на себе собственно евклидову метрику.

Можно доказать, что плоскость несет на себе псевдоевклидову метрику, если нормаль к плоскости принадлежит внешней области изотропного конуса.

Плоскость, нормаль к которой является изотропным вектором, содержит в себе эту нормаль (изотропный вектор перпендикулярен сам себе) и оказывается касательной к изотропному конусу. Такую плоскость называют изотропной. Метрические свойства изотропной плоскости очень своеобразны, они отличаются как от собственно евклидовых, так и от псевдоевклидовых. Ортонормированная система координат в трехмерном псевдоевклидовом пространстве может быть выбрана более произвольно. Если иметь в виду физические приложения, следует выбирать мнимоединичный орт

так, чтобы он принадлежал верхней внутренней полости изотропного конуса. В собственно евклидовой плоскости, перпендикулярной к орту , можно выбрать произвольно два взаимно перпендикулярных орта и .

Так как длина каждого вектора трехмерного псевдоевклидова пространства – величина инвариантная, то свойство определенных ненулевых векторов иметь длину, равную нулю, не зависит от выбора системы координат. Значит, всякий вектор, являющийся изотропным в одной координатной системе, остается изотропным и в любой другой координатной системе. Поэтому изотропный конус является инвариантной конструкцией в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. Он обладает замечательным свойством: плоскость, перпендикулярная к любой прямой, принадлежащей внутренней области изотропного конуса, пересекается с этим конусом по обычной собственно евклидовой окружности. Рассмотрим две ортонормированные координатные системы OXYZ и OX'Y'Z' с общим началом в точке О. Изотропный конус с вершиной в точке О описывается в нештрихованной системе координат уравнением

Плоскость z = h, перпендикулярная к оси OZ, несет на себе собственно евклидову метрику и пересекается с изотропным конусом по кривой