Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени (стр. 13 из 14)

Согласно (2.42) длина радиус-вектора любой точки внутренней области изотропного гиперконуса выражается мнимым числом. Недостаток наглядности в представлении о четырехмерной внутренней области изотропного гиперконуса мы можем частично восполнить, рассматривая пересечения этой области с псевдоевклидовыми координатными гиперплоскостями:

Оказывается, внутренняя область изотропного гиперконуса пересекается с каждой псевдоевклидовой гиперплоскостью, проходящей через вершину гиперконуса, по внутренней области изотропного конуса этой гиперплоскости.

Рис. 6.

Здесь будет полезна наглядная иллюстрация с понижением размерности: вместо четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1 рассмотрим трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1, а вместо псевдоевклидовой гиперплоскости – псевдоевклидову плоскость. Как видно на рис. 6, внутренняя область изотропного конуса пересекается с плоскостью по внутренней области, мнимых секторов плоскости. Если не выходить из псевдоевклидовой плоскости, то за пределами мнимых секторов можно найти только вещественные секторы. Но, выйдя из плоскости в трехмерное пространство, мы найдем вне мнимых секторов плоскости внутреннюю область изотропного конуса (в частности, мнимые секторы другой плоскости). Аналогичным образом, оставаясь в трехмерном пространстве, мы обнаруживаем за пределами внутренней области изотропного конуса только его внешнюю область. Но если выйти из трехмерного пространства в четырехмерное, то вне внутренней области изотропного конуса найдется внутренняя область изотропного гиперконуса (в частности, внутренняя область изотропного конуса другой гиперплоскости).

Аналогичное сравнение можно провести для внешних областей изотропного гиперконуса четырехмерного пространства Минковского, изотропного конуса трехмерного псевдоевклидова пространства и вещественных секторов псевдоевклидовой плоскости. Внешняя область изотропного гиперконуса состоит из точек, координаты которых удовлетворяют условию

или

(2.46)

Все векторы четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1 независимо от точки их приложения можно разбить на три класса по признаку их принадлежности к одной из трех областей. Мы будем говорить, что произвольный вектор

принадлежит внутренней области изотропного гиперконуса, если его координаты удовлетворяют условию

аналогичному условию (2.45) для радиус-векторов, длина (модуль) всякого вектора внутренней области выражается мнимым числом (см. (2.37)). Мы будем говорить, что произвольный вектор а принадлежит внешней области изотропного гиперконуса, если его координаты удовлетворяют условию

,

аналогичному условию (2.36) для радиус-векторов. Длина (модуль) всякого вектора внешней области выражается вещественным числом. Наконец, если координаты вектора а удовлетворяют условию

то вектор а является изотропным и коллинеарным некоторому радиус-вектору, принадлежащему изотропному гиперконусу (2.43).

Рассмотрим в четырехмерном пространстве Минковского множество всех радиус-векторов

, перпендикулярных к ненулевому вектору а. Это множество определяется уравнением

(2.47)

которое в координатной форме, согласно (2.36), принимает вид

(2.48)

Уравнение (5.16) линейное (все переменные входят в него только в первой степени), как и уравнение плоскости (2.29), но в уравнении (2.48) больше переменных, причем три из них могут принимать независимо друг от друга любые значения. Это говорит о том, что уравнение (2.48) определяет в четырехмерном пространстве трехмерное множество точек, аналогичное плоскости, т.е. гиперплоскость общего положения (проходящую через начало координат). Вектор а в уравнении (5.47) называют нормалью к гиперплоскости, потому что всякий радиус-вектор, принадлежащий этой гиперплоскости, перпендикулярен к вектору а.

Проводя такие же рассуждения, но уже для четырех переменных, нетрудно доказать, что если нормаль а к гиперплоскости (2.48) принадлежит внутренней области изотропного гиперконуса, то гиперплоскость несет на себе собственно евклидову метрику, т.е. является трехмерным собственно евклидовым пространством. Можно также доказать, что гиперплоскость, нормаль к которой принадлежит внешней области изотропного гиперконуса, несет на себе псевдоевклидову метрику, т.е. является трехмерным псевдоевклидовым пространством такого же типа, как рассмотренное выше. Наконец, гиперплоскость, перпендикулярная к изотропному вектору, содержит в себе этот вектор и обладает специфическими метрическими свойствами, отличными от собственно евклидовых и псевдоевклидовых свойств. Такую гиперплоскость называют изотропной. В ней содержатся векторы вещественные длины, но нет ни одного вектора мнимой длины и имеется только одно изотропное направление. Это значит, что изотропная гиперплоскость не проникает во внутреннюю область изотропного гиперконуса и имеет с ним только одну общую прямую, т.е. является касательной гиперплоскостью к изотропному гиперконусу.

3. Эксперимент

Практические занятия по теме «Геометрия Галилея и Минковского».

Цели: 1. Формирование знаний об этапах решения задач на построение и умений их осуществлять;

1. Формирование представлений об основных методах решения задач на построение;

2. Формирование навыков самостоятельной работы.

План занятий:

Этапы изучения темы	Тема занятия	Количество часов
1. Пропедевтический этап	Основы конструкти- вной геометрии. Ос- новные геометричес- кие построения.	2
2. Систематический этап	1. Метод пересечения фигур 2. Алгебрaический метод 3. Метод параллель ного переноса 4. Метод подобия	5
3. Итоговый этап	Самостоятельная ра- бота	1

Практические занятия по теме «Методы решения задач на построение»

Занятие 1

Тема: Основы конструктивной геометрии

Цели: 1. Ознакомление с основными требованиями конструктивной геометрии;

1. Формирование системы аксиом инструментов построения: линейки, циркуля, двусторонней линейки, прямого угла.

Оборудование:

1. Рассмотренные выше инструменты;

2. Плакаты, отражающие основные свойства конструктивной геометрии.

Методы и средства:

1. Лекция с включённой беседой;

2. Параллельная работа учителя у доски, а учащихся в тетради;

3. Самостоятельная работа учащихся в тетради.

План-коспект занятия:

1. Организационный момент.

2. Вступительная беседа и объяснение нового материала.

Преподаватель: Данные занятия затрагивают основные моменты очень интересного раздела геометрии, который называется конструктивная геометрия. Как раздел общей геометрии, она изучает геометрические построения. В конструктивной геометрии существуют основные требования.

1. Каждая данная фигура построена;

2. Если построены две или более фигуры, то построено их соединение;

3. Если две фигуры построены, то можно установить является ли их пересечение пустым множеством;

4. Если разность двух фигур не является пустым множеством, то эта разность построена;

5. Можно построить точку, заведомо принадлежащую или не принадлежащую построенной фигуре.

Преподаватель: Каждая задача на построение состоит из требования построить ту или иную фигуру при помощи данных соотношений между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры, используя данный набор инструментов. Мы будем рассматривать построения при помощи циркуля и линейки.

Таким образом, каждая построенная фигура, удовлетворяющая требуемым условиям задачи, называется решением задачи. Найти решение задачи на построение, – значит, свести её к конечному числу из некоторых элементарных построений, то есть указать пошаговую последовательность построений, после выполнения которых мы получим искомую фигуру.

Решить задачу на построение, – значит найти все её решения. А теперь рассмотрим элементарные построения (см. Глава 1, § 1,2).

Преподаватель: На уроках геометрии вы уже выполняли некоторые простые задачи на построение. Давайте вспомним какие.

Учащиеся: Деление отрезка пополам, деление угла пополам, построение треугольника по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам, по двум углам и прилежащей стороне.

Преподаватель: Правильно. Попытайтесь самостоятельно выполнить эти построения.

Каждому ученику предлагается задача на построение.

Предлагаемые задачи:

1. Разделите отрезок пополам.

2. Разделите угол пополам.

3. Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними.