Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени (стр. 5 из 14)

Результатами всех этих операций являются комплексные числа, у которых вторая компонента тоже равна нулю. Отбросив ее всюду, мы получим обычные однокомпонентные вещественные числа с привычными операциями над ними. Поэтому комплексное число с нулевой второй компонентой позволительно для краткости называть вещественным числом (понимая условность этого выражения). В множестве комплексных чисел есть такое число, квадрат которого равен вещественному числу -1, т.е. комплексному числу (–1; 0). Согласно правилу умножения (2.13) имеем

(0; 1) (0; 1) = (0 • 0 – 1 • 1; 0 • 1 + 1 • 0) = (-1; 0).

Значит, комплексное число (0; 1) и есть тот математический объект, который скрывался за символом

. Всякое комплексное число, у которого равна нулю первая компонента, даст при возведении в квадрат отрицательное вещественное число:

(0; y) (0; y) = (0 • 0-y • y; 0 • у + у • 0) = (-y ²; 0).

Значит, комплексное число (0; у) и есть тот математический объект, который скрывался за символом

. Поэтому комплексное число с нулевой первой компонентой позволительно для краткости называть мнимым числом (помня об условности этого выражения). Всякое комплексное число такого типа может быть представлено в виде произведения соответствующего вещественного числа на мнимую единицу:

(y; 0) (0; 1) = (y • 0 – 0 • 1; y • 1 + 0 • 0) = (0; y)=yi.

Наконец, оперирование с комплексными числами подтверждает, что произведение вещественного числа на мнимое есть число мнимое:

(u; 0) (0; y) = (u • 0 – 0 • y; uy + 0 • 0) =

= (0; uy)=u(iy)=i(uy).

Пока математика не осознала роль комплексного числа как более общего и глубокого понятия числа, считалось, что символу

не соответствует никакое «настоящее» число, что это число воображаемое, мнимое. Инерция мышления и то обстоятельство, что вплоть до начала XX в. в природе не были обнаружены отношения, требующие для своего выражения комплексных чисел, заставляли относиться к этим объектам как к искусственному математическому ухищрению, способному, как ни странно, приводить к правильным реальным результатам. В наше время общетеоретические представления, использование комплексных чисел для выражения фундаментальных физических законов (в квантовой механике и теории относительности), а также для решения многочисленных прикладных задач убедительно обосновывают реальную полноценность комплексных чисел. В этих условиях термин «мнимое число» можно сохранять как дань исторической традиции, как привычное название определенного подмножества комплексных чисел (с нулевой первой компонентой), но совершенно недопустимо истолковывать его как условное обозначение выдуманного объекта, которому нет места в объективной, реальности. Приведем в этой связи слова известного советского алгебраиста А.Г. Куроша: «…для современной математики, в отличие, например, от математики XVIII в., в понятии комплексного числа нет ничего таинственного, эти числа являются столь же мало «мнимыми», как и числа отрицательные или числа иррациональные» [8].

В связи с тем, что множество С комплексных чисел имеет большую мощность, чем множество R вещественных чисел, и остается замкнутым относительно большего числа операций, в множестве С оказываются определенными такие функции, которые не имеют смысла в множестве R. Прежде всего в множестве С определены корни любой целой степени из всех комплексных (в частности, из вещественных и мнимых) чисел. С этим связан важнейший теоретический результат – так называемая основная теорема алгебры: всякий многочлен степени

с любыми числовыми коэффициентами имеет n корней. Если бы это было не так, то множество комплексных чисел нуждалось бы в дальнейшем расширении. В множестве вещественных чисел нет логарифмов отрицательных чисел. В множестве С определены логарифмы и отрицательных (вещественных, и любых комплексных чисел (кроме нуля). Основные элементарные функции – степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические – имеют смысл в множестве комплексных чисел С. Это значит, что аргумент названных функций может быть комплексным числом и сами функции принимают комплексные значения (в частных случаях – вещественные или мнимые).

Известный современный математик Е. Вигнер пишет в статье «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» [3]: «Неискушенному уму комплексные числа не покажутся естественными и простыми а результаты физических наблюдений сами по себе не могут содержать комплексные числа… Ничто в нашем повседневном опыте не вынуждает нас вводить такие числа. С другой стороны, если у математика попросить объяснить его интерес к комплексным числам, то он не без негодования укажет вам на прекрасные теоремы, касающиеся алгебраических уравнений, степенных рядов и вообще аналитических функций, доказательство которых стало возможным только благодаря введению комплексных чисел. Математиков никогда не перестанет интересовать это прекрасное достижение их гения…».

Был бы весьма эклектичным в наше время такой взгляд, будто комплексные числа при всех их достоинствах в области математики являются абстракцией, не имеющей реального существования вне сознания математиков. Естествознание прошлого века, и в первую очередь физика, имели дело с таким уровнем познания явлений природы, что для их математического описания достаточно было одних вещественных чисел. Более глубокий взгляд современной физики обнаруживает в природе отношения, выражаемые на языке комплексных чисел. Это именно то, чего не хватало прежде для осознания реальности комплексных чисел. В цитированной выше статье [3] Е. Вигнер замечает, что «использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики». Другое направление физики XX в. – теория относительности – также не обходится без комплексных чисел, о чем и пойдет речь ниже.

2.1.3 Линейные пространства комплексных чисел

С введением комплексных чисел мы можем расширить понятие линейного пространства. Линейным пространством называется такое множество, в котором определены две линейные операции: сложение элементов множества и умножение элементов множества на вещественные числа. Теперь можно рассматривать множества, в которых вторая линейная операция есть умножение элементов множества на комплексные числа, причем операции удовлетворяют тем же восьми аксиомам линейного пространства. Такие множества называются комплексными линейными пространствами, или линейными пространствами над полем комплексных чисел. В отличие от них, линейные множества, в которых вторая операция является умножением элементов на вещественные числа, называются вещественными линейными пространствами, или линейными пространствами над полем вещественных чисел.

Множество комплексных чисел является комплексным линейным пространством, поскольку элементы этого множества можно складывать друг с другом и умножать на комплексные числа. Исходя из определений (2.12) и (2.13) этих операций, нетрудно показать, что для них выполняются все восемь аксиом линейного пространства. Линейное пространство комплексных чисел над полем комплексных чисел имеет размерность, равную единице. Действительно, выбрав в качестве базиса некоторый ненулевой элемент

(комплексное число ), мы сможем представить любое комплексное число в виде линейной комбинации , где – комплексный коэффициент.

2.2 Геометрия четырехмерного мира Минковского

2.2.1 Основные характеристики специальной теории относительности и геометрии Минковского

Рассмотрим основные понятия специальной теории относительности, необходимые для понимания геометрии Минковского. Будем называть мировой точкой четыре величины: время и три пространственные координаты. Мировой линией будем называть непрерывную линию мировых точек. Очевидно, движение материальной точки может быть представлено в виде мировой линии. Если с мировой точкой происходит какое-то «событие», способное повлиять на другие точки, считаем, что она посылает «сигнал». Сигнал распространяется с максимальной скоростью распространения взаимодействия (сигнала). Иногда инвариантность максимальной скорости распространения взаимодействия выносят в отдельный постулат, но вообще-то в этом особого смысла нет – это есть следствие принципа относительности и того экспериментального факта, что скорость распространения взаимодействия конечна

Пусть сигнал проходит за малое время

расстояние . При этом пространственные координаты изменились на , и . Следовательно,

(2.16)