Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 11 из 16)

Відповідь.

.

Метод інтервалів дозволяє вирішувати більше складні рівняння й нерівності з модулями, але в цьому випадку він має трохи інше призначення. Суть складається в наступному. Знаходимо корінь всіх підмодульних виражень і розбиваємо числову вісь на проміжки цих виражень. Це дозволяє, послідовно перебираючи ці проміжки, одночасно позбуватися від всіх модулів і вирішувати звичайне рівняння або нерівність (перевіряючи при цьому, що знайдена відповідь входить у даний проміжок).

Рішення рівнянь домноження на позитивний множник

Приклад Вирішити нерівність

Рішення. ''Пастка'' полягає в тім, що в задачі є кілька модулів, розкривати які -і значить одержати, громіздке рішення.

Помножимо дріб на деяке вираження, що приймає лише позитивні значення й таке, щоб спростити вихідна нерівність:

Відповідь.

.

Типові тестові задачі, що містять змінну під знаком модуля

Приклад Знайти корінь рівняння

.

Рішення. Тому що

, те з рівняння треба, що , . Тоді вихідне рівняння прийме вид: , . Корінь цього рівняння

, .

Корінь

, тому він не є рішенням, а .

Відповідь.

.

Приклад Знайти добуток корінь рівняння

.

Рішення. Позначимо

, . Тоді вихідне рівняння прийме вид: . Корінь цього рівняння , . Тому що , те . Звідси , . Добуток корінь дорівнює .

Відповідь.

.

Приклад Знайти різницю між найбільшими й найменшими коріннями рівняння

.

Рішення. Позначимо

, . Тоді вихідне рівняння прийме вид: . Вирішимо його. Корінь цього рівняння , . Тому що , те значення не підходить. Тому . Різниця між найбільшим і найменшим коренями рівняння дорівнює .

Відповідь.

.

Приклад Знайти суму корінь рівняння

.

Рішення. Використовуємо правило:

.

Вихідне рівняння запишемо у вигляді сукупності рівнянь:

У такий спосіб сума корінь вихідного рівняння дорівнює

.

Інший шлях. Оскільки обидві частини рівняння ненегативні, зведемо рівняння у квадрат. Одержимо:

, . Тому що дискримінант рівняння позитивний, то по теоремі Виета сума корінь дорівнює

Відповідь.

.

Приклад Скільки цілих корінь на відрізку

має рівняння

Рішення. Розглянемо квадратний тричлен

. Тому що , те , тому вихідне рівняння запишеться як

Останнє рівняння еквівалентно нерівності

, рішення якого . Таким чином, рівняння має 6 корінь на відрізку : , , , , , .

Відповідь. 6.

Приклад Яке найбільше кінцеве число корінь може мати рівняння

де

, ,..., , , , ..., --- різні числа?

Рішення. Покладемо

й перепишемо вихідне рівняння у вигляді .

Нехай

--- всі числа із множини , упорядковані по зростанню. На кожному з 101 проміжку , ,..., , , функція лінійна. Помітимо, що на першому й останньому із цих проміжків і відповідно, при цьому , тому що кількість корінь звичайно.

Підемо по числовій осі ліворуч праворуч.

Спочатку кутовий коефіцієнт функції

дорівнює 0. Щораз, коли ми проходимо одну із крапок , він за рахунок зміни знака при розкритті відповідного модуля змінюється на .