Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 12 из 16)

Таким чином, він завжди дорівнює парному цілому числу й не може поміняти знак, не звернувшись перед цим в 0.

Виходить, кутові коефіцієнти на будь-яких двох сусідніх проміжках або обоє ненегативні, або обоє непозитивні, тобто функція

на об'єднанні цих проміжків або неубутна, або незростаюча.

Стало бути, якщо число її корінь звичайно, те на кожному з 50 проміжків

,...,

вона має не більше одного кореня. Крім того, на крайніх інтервалах значення мають різні знаки, і в кожному корені знак функції міняється. Отже, кількість корінь парно й не перевищує 49.

Неважко перевірити, що якщо роль

будуть грати числа 1, 4, 5, 8, 97, 100, а роль

--- числа 2, 3, 6, 7, 94, 95, 98,

, те рівняння

буде мати рівно 49 корінь.

Відповідь. 49.

Приклад Вирішите систему нерівностей

Рішення. Припустимо, що дана система нерівностей має рішення

. Тоді, зокрема,

, тобто

Аналогічно одержуємо

Перемножимо всі отримані нерівності. З одного боку, добуток чотирьох позитивних чисел позитивно. З іншого боку, цей добуток дорівнює -і-

Приходимо до протиріччя.

Відповідь. Система не має рішень.

Приклад чи Існують дійсні числа

такі, що при всіх дійсних

виконується нерівність

Рішення. Припустимо, що такі числа

існують. Виберемо

такі, що

. Тоді різниця між лівою й правою частинами дорівнює

. А якщо взяти

такі, що

, те ця різниця буде дорівнює

. Таким чином, з одного боку,

, з іншої

. Протиріччя.

Відповідь. Немає.

Приклад Скільки різних цілочисленних рішень має нерівність

Рішення. При натуральному

рівняння

має рівно

цілочисленних рішень, а при

рішення єдине. Таким чином, кількість рішень вихідної нерівності дорівнює

Відповідь. 19801.

Приклад Знайдіть всі значення параметра

, при кожному з яких рівняння має три різних корені; знайдіть цих корінь:

Рішення. Зведемо обидві частини рівняння у квадрат:

Якщо

, тоді одержимо рівняння:

Дискримінант цього рівняння дорівнює:

Рівняння (1) буде мати один корінь, при

. Два корені, при

Якщо

, тоді одержимо рівняння:

Дискримінант цього рівняння дорівнює:

Рівняння (2) буде мати один корінь при

. Два корені --- при

Робимо висновок, що при

рівняння (1) має один корінь, а рівняння (2) --- два корені. При

, рівняння (1) має два корені, а рівняння (2) --- один.

Таким чином, при

дане рівняння має три корені.

Знайдемо цих корінь. При

, перше рівняння прийме вид:

. Воно має один корінь:

Рівняння (2) прикмет вид:

яке має два корені:

При

, рівняння (2) прикмет вид:

. Воно має один корінь:

Рівняння (1) при цьому стане:

, що буде мати корінь:

Відповідь. При

При