Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 14 из 16)

Виходить, рівняння не має корінь для

із проміжку .

Якщо

не належать цьому проміжку, то квадратне рівняння має коріння , , причому при й . З'ясуємо тепер, при яких значеннях параметра знайдених корінь лежать в області .

Для цього потрібно вирішити нерівності

й .

Нерівність

рівносильна нерівності або сукупності двох систем нерівностей:

Множина рішень першої системи має вигляд

, друга система не має рішень. Виходить, тільки при значенні корінь рівняння лежить в області

Нерівність

рівносильна нерівності або системі нерівностей

Множина рішень отриманої системи нерівностей є відрізок

.

Тільки при цих значеннях параметра

, корінь належить області: . Таким чином, при дане рівняння в області рішень не має.

Якщо

, то рівняння в розглянутій області має єдине рішення .

При значеннях

, що лежать в області вихідне рівняння має два різних корені й . Якщо ж , то вихідне рівняння має єдиний корінь . Отримані результати зручно звести в таблицю:

Таким чином, шукані значення

утворять два проміжки: і .

Відповідь.

, .

Приклад Знайти всіх корінь рівняння

, що задовольняє нерівності .

Рішення. Будуємо графіки функцій

і . Одержимо дві крапки перетинання, абсциса тільки однієї з них менше , тобто задовольняє умови задачі

Абсцису крапки можна одержати вирішивши рівняння

.

Відповідь.

.

Приклад Вирішити аналітично й графічно рівняння

Аналітичне рішення

Перетворимо рівняння, помноживши обидві його частини на 2, будучи позитивним числом, його можна вносити під знак модуля, тому одержимо:

У кожного із тричленів позитивні дискримінанти. Це дає можливість розкласти кожний з них на лінійні множники.

Рівняння прийме вид:

.

На числовій прямій відкладемо крапки, у яких кожний із множників звертається в нуль. У результаті одержимо п'ять проміжків, на кожному з яких визначимо знаки тричленів під модулем і вирішимо отримані рівняння.

Однак такий спосіб не буде раціональним. Доцільніше зобразити проміжки кожного із тричленів на числових осях. Тоді визначення їхніх знаків буде спрощене й зробиться більше наочним

При такому схематичному зображенні зрозуміло, що:

1) при

обидва тричлени позитивні й рівняння прийме вид:

Вирішуючи його, знаходимо

, . Обидва корені не входять у проміжок і є сторонніми;

2) при

перший тричлен негативний, а другий позитивний, одержимо рівняння: звідки знаходимо корінь , що входить у проміжок і є рішенням рівняння;

3) при

обидва тричлени негативні, одержуємо:

, звідки , що входить у проміжок і є рішенням рівняння;

4) при

перший тричлен позитивний, другий --- негативний, одержуємо рівняння:

, звідси , що входить у проміжок і є рішенням рівняння;

5) при

обидва тричлени позитивні, виходить така ж ситуація, як і в першому випадку. І тут, обидва корені , не входять у проміжок і є сторонніми.

Відповідь.

, , .

Графічне рішення

Для графічного рішення перетворимо рівняння:

Побудуємо графіки функцій

і

Графік функції

будемо будувати в кілька етапів:

а) будуємо графік функції

;

б) будуємо графік функції

, `