Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 15 из 16)
дзеркально'' відбивши нижню частину кривої
в осі 
;в) будуємо графік функції
для цього досить графік функції
``опустити'' долілиць (здійснити паралельний перенос уздовж осі 
) на 
;г) отриманий графік повністю симетрично відіб'ємо в осі
, ``перевернемо'' навколо осі на 
.У результаті одержимо графік функції
.Графік функції
побудуємо вже відомим способом: будуємо параболу
й дзеркально відбиваємо в осі тільки частина параболи, що перебуває нижче осі .Знаходимо абсциси крапок перетинання графіків, які й будуть рішеннями рівняння
Абсциси крапок перетинання наступні: 1,75; 2,5 і 3,25. Вони й будуть рішеннями рівняння.
Приклад Вирішите рівняння
.Рішення. Вирішувати будемо це рівняння послідовне ``розкриваючи'' модулі, починаючи з ``зовнішнього'' і ``наближаючись'' до змінного
.Після розкриття першого модуля, одержимо сукупність двох рівнянь:
(1)
або (2) 
.Вирішуючи рівняння (1), у свою чергу, одержуємо два рівняння:
,(3)
або (4) 
.З рівняння (3) знаходимо:
, 
з рівняння (4) знаходимо: 
, 
Вирішуючи рівняння (2), також одержимо:
, що розпадається два рівняння:(
) 
або ( 
) 
.З (
) одержуємо: 
, 
, 
З ( ) 
, що не має рішень.Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння:
Рішення. ОДЗ даного рівняння:
Простою перевіркою неважко переконатися, що
й 
--- рішення даного рівняння.Відповідь.
.Якщо вирішувати рівняння шляхом піднесення у квадрати обох його частин, то вийде рівняння
У цього рівняння додасться ``зайвий'' корінь
, що не належить ОДЗ.Перетворення
, не рівносильне, тому що входить в ОДЗ вихідного вираження, але не входить в ОДЗ перетвореного.Нюанс полягає в тому, що при
функція 
існує й при 
, тому що на що нуль не множ --- буде нуль.Приклад Вирішити рівняння
.Рішення. Почнемо розкривати внутрішній модуль (розкриття зовнішнього модуля займе набагато більше часу):
1. При
маємо 
.Тепер розглянемо два випадки:
а)
, тобто 
;б)
і 
Так як функція, що стає в першій частині вихідного рівняння, --- парна, то рішенням так само буде
й 
.Відповідь.
.Приклад Чому дорівнює сума корінь рівняння (корінь, якщо він один) рівняння
Рішення. Розглянемо вираження
і перетворимо його до виду
Очевидно, що чисельник дробу при будь-яких значеннях змінної є позитивним числом. Значить дробове вираження позитивно, якщо
(тому що 
). Перетворимо отримане вираження, за умови 
. Одержимо рівняння, рівносильне вихідному: 
Відповідь.
.Приклад Всі значення квадратного тричлена
на відрізку 
по модулі не перевершують 1. Яке найбільше значення при цьому може мати величина 
?Відповідь. Максимальне значення величини
дорівнює 17.Доведемо це. Спочатку доведемо, що ця величина не може бути більше 17. Тому що значення тричлена
на відрізку по модулі не перевершують одиниці, те 
, 
, 
, тобто 
, 
, 
. Тому що модуль суми не перевершує суми модулів, те 
Отже,
. Залишилося помітити, що квадратний тричлен 
задовольняє умові задачі й для нього величина дорівнює 17.