Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 5 из 16)

Рішення. Розглянемо 2 випадки 1) пункт

перебуває вище за течією 2) пункт перебуває нижче за течією.

У першому випадку одержуємо систему

яка не має рішення. Тоді виконується другий випадок.

Відповідь.

.

Приклад Дані три квадратних тричлени:

, і . Доведіть, що рівняння має не більше восьми корінь.

Рішення. Кожний корінь даного рівняння є коренем одного із квадратних тричленів

, , з деяким набором знаків. Таких наборів 8, і всі вони дають дійсно квадратні тричлени, тому що коефіцієнт при має вигляд , тобто відмінний від нуля. Однак двом протилежним наборам знаків відповідають квадратні рівняння, що мають ті самі коріння. Виходить, всі рішення рівняння втримуються серед корінь чотирьох квадратних рівнянь. Отже, їх не більше восьми.

Приклад Шабат Г.Б. Нескінченна послідовність чисел

визначається умовами: , причому . Доведіть, що послідовність, починаючи з деякого місця, періодична в тому випадку, якщо раціонально.

Рішення. Якщо

, то . Дійсно, . Якщо раціональне, то раціональне, причому зі знаменником не більшим чим в . Дійсно, нехай --- нескоротний дріб. Тоді

Якщо цей дріб нескоротний, то її знаменник такої ж, як і в

, якщо вона скоротна, те після скорочення знаменник зменшиться.

Отже, всі члени послідовності --- раціональні числа, укладені між 0 і 1, тобто правильні дроби. Але правильних дробів зі знаменниками, не більшими заданої величини

, --- кінцеве число. Тому якісь члени послідовності повторяться, і із цього моменту послідовність буде періодичною.

Найпростіші рівняння й нерівності з модулем

До найпростішого (не обов'язково простим) рівнянням ми будемо відносити рівняння, розв'язувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:

(??)(??)(??)(??)

Приклади рішення найпростіших рівнянь.

Приклад Вирішимо рівняння

.

Рішення.

Відповідь.

.

Приклад Вирішимо рівняння

.

Рішення.

Відповідь.

.

Приклад Вирішимо рівняння

.

Рішення.

Відповідь.

.

Зупинимося докладніше на рівняннях, у яких зустрічається сума модулів (формули (??)--(??) ).

Теорема Сума модулів дорівнює алгебраїчній сумі підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли кожна величина має той знак, з яким вона входить в алгебраїчну суму.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Тому що

, те ми маємо рівність виду , де , . Тому вихідне рівняння рівносильне системі:

Відповідь.

.

Теорема Сума модулів дорівнює модулю алгебраїчної суми підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли всі величини мають той знак, з яким вони входять в алгебраїчну суму, або всі величини мають протилежний знак одночасно.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. ''Заганяємо'' коефіцієнти 2 і 5 під знак модуля й ''ізолюємо'' суму модулів:

По константах одержуємо

. Дійсно, , тобто рівняння має вигляд . Отже, рівняння рівносильне сукупності двох систем:

тобто

.

Відповідь.

.

До найпростішого (не обов'язково простим) нерівностям ми будемо відносити нерівності, розв'язувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:

(??)

(??)

Приклади рішення найпростіших нерівностей.

Приклад Вирішимо нерівність

.

Рішення.

.

Відповідь.

.

Приклад Вирішимо нерівність

.

Рішення.

Відповідь.

.

Як не дивно, але

досить, щоб позбутися від знака модуля в будь-яких нерівностях.

Приклад Вирішити нерівність

Рішення.

Відповідь.

.

Приклад Вирішити нерівність

Рішення. Щодо будь-якого модуля дана нерівність має вигляд

. Тому перебравши всі комбінації знаків двох підмодульних виражень, маємо