Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 7 из 16)

Рішення. Покладемо

. Крапка з координатами , де , мабуть, лежить на графіку функції .

Розглянемо позитивне число

. Тоді , отже, крапка з координатами лежить на графіку функції .

Відстань між крапками

й дорівнює . Але з рівності треба, що

, , .

Приклад На координатній площині зобразите всі крапки, координати яких є рішеннями рівняння:

.

Рішення.

або .

Відповідь. см. малюнок (??)

Приклад Даний функція

. Скільки рішень має рівняння ?

Рішення. Нехай

--- рішення рівняння , а . Тоді й , а тому крапка з координатами лежить на кожному із графіків і . Навпаки, якщо крапка лежить на перетинанні цих графіків, те й , звідки . Тим самим показане, що число рішень рівняння збігається із числом крапок перетинання графіків і , а їх 16.

Відповідь. 16.

Графіки функцій, що містять лінійні вираження під знаком абсолютної величини

Сформулюємо твердження, що дозволяє будувати графік алгебраїчної суми модулів, не розкриваючи модулі (це особливо зручно, коли модулів багато).

Теорема Алгебраїчна сума модулів

лінійних виражень, графік якої складається із прямолінійної ділянки. Тому графік може бути побудований по крапках, з яких являють собою корінь внутрімодульних виражень, ще одна --- довільна крапка, з абсцисою менше найменшого із цих корінь, і остання --- з абсцисою, більшої найбільшого із цих корінь.

Зауваження. Аналогічно можна будувати графіки виду

.

Приклади побудови графіків

1.

. Обчислюємо значення функції в крапках 1, 0 і 2, одержуємо графік, що складається із двох променів.

2.

. Обчислюючи значення функції в крапках з абсцисами 1, 2, 0 і 3, одержуємо графік, що складається з відрізка й двох променів (див. мал. (??)).

3.

.

Для побудови графіка ``по відрізках'' обчислимо значення функції в крапках 1, 2, 3, 0, 4 (див. мал. (??)).

4.

.

Графік різниці модулів будуватися аналогічно (див. мал. (??)).

Аналізуючи вид графіків 1, 2 і 3, можна припустити, а потім і довести, що сума модулів лінійних виражень виду

досягає свого найменшого значення або в єдиній крапці, якщо число модулів парно, або у всіх крапках деякого відрізка, якщо число модулів парно. Графік суми непарного числа модулів лінійних виражень має форму клина, а графік суми парного числа модулів має ділянка паралельний осі абсцис. Більш точно:

Теорема Нехай корінь подмодульных виражень упорядковані по зростанню

. Тоді якщо число що складаються непарно й , те найменше значення функції досягається в крапці , а якщо число що складаються парно й , те найменше значення функції досягається у всіх крапках відрізка .

Використовуємо твердження для рішення задачі, що пропонувалася на одній з олімпіад Санкт-Петербурзького державного університету.

Приклад Залежно від значення параметра

, знайти кількість корінь рівняння

Рішення. Вирішимо задачу графічно. Нехай

, визначимо кількість крапок перетинання графіка функції й прямій залежно від . Виходячи зі сформульованого вище твердження, графік функції буде мати ділянку, паралельна осі абсцис. Помітимо, що абсциси крапок цієї ділянки становлять відрізок , і у всіх його крапках функція досягає найменшого значення, рівного, наприклад, , причому

Оскільки зазначена сума являє собою подвоєну арифметичну прогресію з першим членом 1, останнім членом 999, складену із числом 1000, то вона дорівнює

Тоді при

рівняння не буде мати рішень, при них буде нескінченно багато, а при рівняння буде мати два рішення.

Інші способи рішення рівнянь і нерівностей з модулем

Метод розкриття модулів

Метод розкриття модулів розглянемо на прикладі:

Приклад Вирішити рівняння