Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 9 из 16)

Відповідь. 1989.

Рішення рівнянь утримуючі модулі ненегативних виражень

Приклад Чому дорівнює сума корінь рівняння (корінь, якщо він один) рівняння

Рішення. Розглянемо вираження

і перетворимо його до виду

Очевидно, що чисельник дробу при будь-яких значеннях змінної є позитивним числом. Значить дробове вираження позитивно, якщо

(тому що ). Перетворимо отримане вираження, за умови . Одержимо рівняння, рівносильне вихідному:

Відповідь.

.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Оскільки ліва частина рівняння ненегативна, при всіх припустимих значеннях змінної, на множині корінь рівняння права його частина теж повинна бути ненегативної, звідси умову

, на цьому проміжку знаменники обох дробів рівні, і залишається вирішити рівняння . Вирішуючи його й з огляду на обмеження , одержуємо

Відповідь.

.

Приклад Вирішити рівняння:

Рішення. Неважко догадатися, що всі вираження, що коштують під знаками другого, третього й т.д. модулів, позитивні. І оскільки модуль позитивного вираження дорівнює самому цьому вираженню, одержимо

Відповідь.

.

Рішення рівнянь із використанням геометричної інтерпретації

Геометричний зміст вираження

--- довжина відрізка координатної осі, що з'єднує крапки з абсцисами й . Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову часто дозволяє уникнути громіздких викладень.

Приклад Вирішимо рівняння

.

Рішення. Будемо міркувати в такий спосіб: виходячи з геометричної інтерпретації модуля, ліва частина рівняння являє собою суму відстаней від деякої крапки з абсцисою

до двох фіксованих крапок з абсцисами 1 і 2. Тоді всі крапки з абсцисами з відрізка мають необхідну властивість, а крапки, розташовані поза цим відрізком,--- немає.

Відповідь.

.

Приклад Вирішимо рівняння

.

Рішення. Міркуючи аналогічно, одержимо, що різниця відстаней до крапок з абсцисами 1 і 2 дорівнює одиниці тільки для крапок, розташованих на координатній осі правіше числа 2.

Відповідь.

.

Приклад Вирішити нерівність

.

Рішення. Зобразимо на координатної прямої крапки, сума відстаней від яких до крапок

і в точності дорівнює . Це всі крапки відрізка . Для всіх чисел поза даним відрізком сума відстаней буде більше двох.

Відповідь.

.

Зауваження. Узагальненням рішення вищенаведених рівнянь є наступні рівносильні переходи:

Приклад Вирішите нерівність:

.

Рішення. Вирішимо нерівність, використовуючи координатну пряму. Дана нерівність виконується для всіх крапок c координатою

, які перебувають ближче до крапки з координатою , чим до крапки з координатою . Тому що , те шуканими є всі крапки, розташовані лівіше крапки з координатою .

Відповідь.

.

Приклад Вирішите рівняння

.

Рішення. Розглянемо на числовій прямій крапку з координатою

. Сума дорівнює сумі відстаней від крапки до крапок з координатами 2, 1, 0, -1, -2. Помітимо, що сума відстаней від будь-якої крапки до крапок і не менше довжини відрізка (і рівність досягається тоді й тільки тоді, коли крапка розташована на відрізку ). Звідси одержуємо, що не менше 4, а не менше 2 при кожному . Тому для того, щоб сума була дорівнює , необхідно, щоб . Отже, необхідно дорівнює . Легко перевірити, що значення дійсно є рішенням даного рівняння.

Відповідь.

.

Приклад Гальперин Г.О. Позитивні числа

, , і такі, що система рівнянь

має

рішень, а система рівнянь

має

рішень. Відомо, що . Знайдіть і .

Рішення. Перше рівняння є рівняння окружності, другому задовольняють крапки квадрата із центром на початку координат і з діагоналями, що належать осям координат. Система із двох перших рівнянь залежно від

і або не має рішень, або має чотири рішення, або вісім. Отже, може рівнятися або 0, або 4, або 8. Перше рівняння другої системи є рівняння сфери. Другому задовольняють крапки октаедра із центром на початку координат і з вершинами, що лежать на осях координат на рівних відстанях від центра. Ця система залежно від і або не має рішень, або має 6 рішень (вершини октаедра лежать на сфері), або має 8 рішень (сфера стосується граней октаедра), або має нескінченне число рішень (сфера перетинає грані октаедра по окружностях або декільком дугам окружностей). Отже, може рівнятися або 0, або 6, або 8, або . Умові задовольняє тільки варіант , .