Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 1 из 16)

Зміст

Введення

Абсолютна величина і її властивості

Найпростіші рівняння й нерівності з модулем

Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем

Інші способи рішення рівнянь і нерівностей з модулем

Метод розкриття модулів

Використання тотожності, при рішенні рівнянь

Рішення рівнянь утримуючі модулі ненегативних виражень

Рішення рівнянь із використанням геометричної інтерпретації

Рішення рівнянь із використанням тотожності

Застосування теореми про знаки при рішенні рівнянь

Рішення рівнянь переходом до наслідку

Рішення рівнянь методом інтервалів

Рішення рівнянь до множенням на позитивний множник

Типові тестові задачі, що містять змінну під знаком модуля

Висновок

Список джерел

Введення

Поняття абсолютної величини (модуля) є однієї з найважливіших характеристик числа як в області дійсних, так і в області комплексних чисел.

Це поняття широко застосовується не тільки в різних розділах шкільного курсу математики, але й у курсах вищої математики, фізики й технічних наук, які вивчають у вузах. Наприклад, у теорії наближених обчислень використовуються поняття абсолютної й відносної погрішностей наближеного числа. У механіку й геометрії вивчаються поняття вектора і його довжини (модуля вектора). У математичному аналізі поняття абсолютної величини числа втримується у визначеннях таких основних понять, як межа, обмежена функція й ін. Задачі, пов'язані з абсолютними величинами, часто зустрічаються на математичних олімпіадах, вступних іспитах у вузи.

Програмою шкільного курсу математики не передбачені узагальнення й систематизація знань про модулі, їхніх властивостях, отриманих учнями за весь період навчання. Даний пробіл і намагається заповнити справжній диплом.

Дипломна робота складається з 5 розділів.

У першому розділі наведені рівносильні визначення модуля, його геометрична інтерпретація, властивості абсолютної величини. На прикладі показано, як використовуючи модуль, будь-яку систему рівнянь і нерівностей з однієї й теж областю визначення можна представити у вигляді одного рівносильного порівняння. Так само показано на прикладі, як лінійний сплайн, представити у вигляді одного рівняння з модулями. Наведені приклади завдань, у яких використовуються або властивості модуля, або рівняння й нерівності, що містять знак абсолютної величини, виникають у процесі рішення.

У другому розділі представлені методи рішення найпростіших рівнянь і нерівностей з модулями, рішення яких не вимагає використання трудомісткого процесу розкриття модулів.

У третьому розділі представлене графічне рішення рівнянь і нерівностей, що містять знак абсолютної величини. Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем у деяких випадках набагато більше просте, чим аналітичне. У цьому розділі розглянута побудова графіків функцій

, і . Багато уваги приділено побудові графіків функцій, що представляють собою суму лінійних виражень під знаком абсолютної величини. Так само наведені приклади побудови графіків функцій з ''вкладеними'' модулями. Наведено теореми про екстремумі функцій, що містять суму лінійних виражень під знаками абсолютних величин, що дозволяють ефективно вирішувати задачі як на знаходження екстремумів подібні функції, так і вирішувати задачі з параметрами.

У четвертому розділі представлені додаткові методи рішення рівнянь і нерівностей, що містять знак абсолютної величини. У першу чергу описаний трудомісткий і не завжди раціональний, а в деяких випадках і непридатний метод розкриття модулів, іноді називаний метод інтервалів, за допомогою якого можна вирішити будь-яке рівняння й нерівність з модулем. Описано метод використання тотожності

; розглянутий метод геометричної інтерпретації, використання тотожності , застосування теореми про знаки, метод переходу до наслідку, метод інтервалів, метод домноження на позитивний множник.

У п'ятому розділі наведені приклади рішення типових тестових задач пов'язаних з поняттям абсолютна величина. Наведено рішення як ''стандартних'' задач, у рішенні яких необхідно одержати яку-небудь комбінацію рішень, так і завдань із параметрами. Для деяких задач наведено кілька способів рішення, іноді зазначені типові помилки виникаючі в процесі рішення. Для всіх завдань наведено найбільш ефективне, по швидкості, рішення.

Абсолютна величина і її властивості

Модуль. Властивості модуля

Визначення. Модуль числа

або абсолютна величина числа дорівнює , якщо більше або дорівнює нулю й дорівнює , якщо менше нуля:

З визначення треба, що для будь-якого дійсного числа

, .

Теорема Абсолютна величина дійсного числа

дорівнює більшому із двох чисел або .

1. Якщо число

позитивно, то негативно, тобто . Звідси треба, що .

У цьому випадку

, тобто збігається з більшим із двох чисел і .

2. Якщо

негативно, тоді позитивно й , тобто більшим числом є . По визначенню, у цьому випадку, --- знову, дорівнює більшому із двох чисел і .

Наслідок З теореми треба, що

.

Справді, як

, так і рівні більшому із чисел і , а виходить, рівні між собою.

Наслідок Для будь-якого дійсного числа

справедливі нерівності , .

Множачи другу рівність

на (при цьому знак нерівності зміниться на протилежний), ми одержимо наступні нерівності: , справедливі для будь-якого дійсного числа . Поєднуючи останні дві нерівності в одне, одержуємо: .

Теорема Абсолютна величина будь-якого дійсного числа

дорівнює арифметичному квадратному кореню з : .

Справді, якщо

, те, по визначенню модуля числа, будемо мати . З іншого боку, при , , значить .