Геометрия Галилея и дуальные числа (стр. 2 из 9)

Однако выбор двух различных ориентаций приводит к различным (хотя, конечно, и изоморфным) специальным аффинным плоскостям. Поэтому, представляя себе специальную аффинную плоскость как ориентированную аффинную плоскость, надо постоянно следить за тем, чтобы результаты не зависели от выбора ориентации.

Конечно, все это с равным правом справедливо и для специальных евклидовых плоскостей.

Геометрия с группой

всех аффинных преобразований плоскости, оставляющих на месте некоторую точку О, называется центроаффинной геометрией, а соответствующая плоскость — центрированной аффинной плоскостью. Центроаффинная геометрия отличается от аффинной геометрии тем, что точка О играет в ней особую роль.

Координатными системами центроаффинной геометрии являются аффинные координатные системы с началом в точке О. Центроаффинная геометрия определена, конечно, и для случая произвольного поля К.

Точки центрированной аффинной плоскости находятся в естественном биективном соответствии с векторами из

(точке М соответствует ее радиус-вектор ). Поэтому в центроаффинной геометрии можно, в частности, говорить о сумме точек и о произведении точки на число (понятия, в общей аффинной геометрии смысла не имеющие).

Вариантом центроаффинной геометрии, «различающим симметричные фигуры», является специальная центроаффинная геометрия с группой

всех сохраняющих ориентации аффинных преобразований, оставляющих точку О на месте.

Евклидовым вариантом центроаффинной геометрии является центроевклидова геометрия с группой

, состоящей из всех ортогональных преобразований, оставляющих точку О на месте. Эта геометрия совпадает с «метрической геометрией векторов» из . В ней имеют смысл понятия длины точки и угла между двумя точками (впрочем, обычно длину точки, т. е. длину соответствующего радиус-вектора, называют нормой точки, а угол между двумя точками, т. е. угол между соответствующими радиус-векторами, — угловым расстоянием между этими точками).

Можно также рассматривать специальную иентроевклидову геометрию с группой

всех вращений вокруг точки О. Эта геометрия отличается от центроевклидовой геометрии только тем, что симметричные фигуры (с осью симметрии, проходящей через точку О) в ней считаются различными.

Пусть Ф — произвольное аффинное преобразование плоскости. В некоторой системе аффинных координат х, у с репером

это преобразование выражается, как известно, формулами

где

, где .

А — матрица этого преобразования.

Определитель

матрицы А не зависит от выбора репера

.

Этот определитель назовем определителем аффинного преобразования Ф и будем его обозначать символом

или .

Геометрический смысл определителя аффинного преобразования выясняется следующим предложением:

Предложение 1. Пусть Х — произвольная плоская фигура и пусть Х' —фигура, _,получающаяся из нее аффинным преобразованием Ф. Тогда площадь фигуры Х' равна площади фигуры Х, умноженной на абсолютную величину определителя преобразования Ф:

.

Следствие. Площадь s эллипса с полуосями а и b (точнее, площадь области, ограниченной этим эллипсом) выражается формулой

.

Доказательство. Площадь круга радиуса а равна, как известно,

. Но эллипс с полуосями а и b получается из этого круга сжатием плоскости к одному из его диаметров с коэффициентом . Следовательно,

.

§2. Эквиаффинная система

Определение 1. Аффинное преобразование Ф называется эквиаффинным, если

.

Согласно предложению 1,

аффинное преобразование тогда и только тогда эквиаффинно, когда оно сохраняет площади, т. е. когда площадь любой плоской фигуры Х равна площади преобразованной фигуры Х'.

К числу эквиаффинных преобразований принадлежат все ортогональные преобразования. Однако существуют и неортогональные эквиаффинные преобразования.

Так как

,

то

совокупность всех эквиаффинных преобразований является группой.

Геометрия с этой группой называется эквиаффинной геометрией, а соответствующие плоскости — эквиаффинными плоскостями. В отличие от аффинной геометрии, в эквиаффинной геометрии имеет смысл понятие площади. Она является естественной областью, в которой целесообразно строить теорию площадей.

Две аффинные координатные системы с реперами

и

; тогда и только тогда определяют одну и ту же эквиаффинную плоскость, когда бивекторы

и либо совпадают, либо отличаются знаком, т. е. когда параллелограммы, построенные на векторах и , имеют одну и ту же площадь. Это показывает, что эквиаффинная плоскость является не чем иным, как аффинной плоскостью, на которой задан эталон площади (область, площадь которой принята за единицу).

Конечно, здесь при выборе различных эталонов площади мы получаем из одной аффинной плоскости различные эквиаффинные плоскости.

При формулировке утверждений эквиаффинной геометрии, относящихся к площадям, необходимо соблюдать определенную осторожность. Например, доказанное выше следствие о площади эллипса, как оно сформулировано, не принадлежит эквиаффинной геометрии, поскольку в нем фигурируют длины полуосей а и b, смысла в эквиаффинной геометрии не имеющие. Чтобы получить «эквиаффинную» формулировку этого следствия, достаточно, однако, заметить, что согласно теореме Аполлония площадь параллелограмма, построенного на произвольной паре сопряженных радиусов эллипса, равна аb. Поэтому мы можем сказать, что

отношение площади эллипса к площади параллелограмма, построенного на паре его сопряженных радиусов, равно

.

Эта формулировка в эквиаффинной геометрии уже вполне осмыслена.

Замечание 1. Ясно, что теорема Аполлония очевидным образом вытекает из возможности представления произвольного эллипса как образа некоторой окружности при аффинном преобразовании, поскольку для случая окружности она тривиальна (площадь квадрата, построенного на паре перпендикулярных радиусов окружности, равна квадрату радиуса окружности).

Замечание 2. Утверждение о площади эллипса может быть сформулировано также и следующим образом:

отношение площадей эллипса и параллелограмма, построенного на паре его сопряженных радиусов, равно

.

Обратим внимание на тонкое, но существенное, различие между двумя последними формулировками: в то время как в первой формулировке мы говорим об отношении площади одной фигуры (эллипса) к площади другой фигуры (параллелограмма), во второй формулировке речь идет об отношении площадей этих фигур. Поскольку согласно предложению 1 при любом аффинном преобразовании площади всех фигур умножаются на одно и то же число, не зависящее от фигуры, то для любых двух фигур Х и Y отношение их площадей аффинно инвариантно. Другими словами, хотя в аффинной геометрии и нельзя говорить о площади одной отдельно взятой фигуры, но понятие отношения площадей двух фигур имеет полный смысл (подобно тому, как имеет смысл понятие отношения длин двух параллельных отрезков). Таким образом, вторая из приведенных выше формулировок имеет смысл в аффинной геометрии, тогда как первая — только в эквиаффинной.