Геометрия Галилея и дуальные числа (стр. 4 из 9)
Для доказательства всех перечисленных свойств движений достаточно проверить, что ими обладают сдвиги , поскольку параллельные переносы заведомо всеми этими свойствами обладают.
То, что прямую, параллельную оси Oy, – а именно в ту же самую прямую, – непосредственно вытекает из определения сдвига с коэффициентом сдвига v переводит точку А прямой l, проходящей через начало координат О, в точку
(рис. 1). 
Обозначим прямую
через 
, точки пересечения любой параллельной оси Oy прямой m c прямыми l и – через M и 
, а точки пересечения прямых т и 
с осью Ох – через Q и P. Из рис. 1 легко получим 
. Но так получается из точки А сдвигом , то
.Используя опять рис. 1 (на котором
и 
), имеем
,откуда
.Это как раз и означает, что каждую точку М прямой l сдвиг переводит в точку
прямой , т. е. что он переводит прямую l в прямую .Пусть
– прямая, параллельная прямой l и не проходящая через точку О (см. рис. 1). Обозначим через d длину (обычную, измеряемую в евклидовой геометрии) равных между собой вертикальных (т. е. параллельных оси Оу) отрезков 
, 
, 
, …, заключенных между прямыми l и . Сдвиг сводится к переносу вдоль каждой прямой, параллельной оси Оу, всех точек этой прямой на одно и то же расстояние (но точек разных прямых – на разные расстояния); поэтому все отрезки 
этот сдвиг переведет в отрезки , 
, 
, … той же длины:
.А так концы
, 
, 
, … этих отрезков принадлежат прямой 
(в которую сдвиг переводит прямую), то вторые их концы 
, 
, 
, … попадут на прямую 
, параллельную прямой 
и отстоящую от на расстоянии d в направлении оси Оу. Отсюда и следует, что сдвиг переведет прямую в прямую 
. Попутно мы убедились, что все прямые, параллельные фиксированной прямой 
, сдвиг переводит в прямые, параллельные прямой , т. е. что параллельные прямые сдвиг переводит в параллельные.Нетрудно доказать, что если отрезки АВ и CD какой-то прямой
сдвиг переводит в отрезки А'В' и C'D' прямой l', то 
.Наконец, площадь фигуры F приближенно равна сумме площадей помещающихся внутри F «маленьких» квадратов, образованных сетью прямых, параллельных осям Ох и Оу и отстоящих друг от друга на одно и то же «малое» расстояние е (т. е. приближенно равно числу таких квадратов, умноженному на площадь е2 одного квадрата, — рис. 2, наверху); точное же значение площади определяется как предел полученных таким образом величин, отвечающих последовательности неограниченно уплотняющихся сеток квадратов (т. е. таких, что величина е неограниченно уменьшается). Сдвиг переводит фигуру F в новую фигуру F', а сетку квадратов — в сетку параллелограммов той же площади (см. рис. 2, внизу) — ведь параллельная оси Оу сторона параллелограмма будет той же, что и сторона квадрата, а опущенная на эту сторону высота параллелограмма также равна стороне квадрата. Поэтому приближенное значение площади фигуры F', равное произведению числа помещающихся внутри F' параллелограммов сетки на площадь е2 одного параллелограмма, будет тем же, что и приближенное значение площади фигуры F. А так как приближенное равенство пл. F'
пл. F имеет место при любой точности определения площадей фигур F и F' (зависящей от размера квадрата сетки), то, очевидно,пл. F' = пл. F.
После этих предварительных замечаний мы можем приступить к обсуждению смысла понятий «расстояние между точками» и «угол между прямыми» в геометрии Галилея.
§2. Расстояние между точками.
В евклидовой геометрии расстояние
между двумя точками 
и 
определяется формулой
при этом равенство нулю расстояния между двумя точками означает, что эти точки совпадают.
Расстояние
между двумя точками 
и в геометрии Галилея определяется по формуле
; оно равно проекции
отрезка 
на ось Ох (рис. 3, а). Так как координата х точки А преобразуется при движении по формуле
то ясно, что разность
абсцисс двух точек А1 и А при движении не меняется. 
Если расстояние
, между точками А и А1 равно нулю, т. е. 
, то точки А и А1 принадлежат одной особой прямой (прямой, параллельной оси Оу; рис. 3, б). Для таких двух точек можно определить особое расстояние 
, между точками:
. В самом деле, если абсциссы двух точек
и 
одинаковы (если ), то произвольное движение преобразует их в точки 
и 
, где 
и