Геометрия Галилея и дуальные числа (стр. 5 из 9)
, 
;поэтому
,т. е. разность
не меняется при движении, а, следовательно, имеет на плоскости Галилея геометрический смысл. Однако если расстояние 
между точками А и А1 отлично от нуля, т. е. абсциссы этих точек различны, то разность 
ординат этих точек не сохраняет своей величины при движении, т. к. в этом случае
.Да это и понятно — ведь сдвиг оставляет на месте начало О системы координат и меняет ординату любой точки М, не принадлежащей оси Оу; поэтому он никак не может сохранять разность ординат точек М и О.
Очевидно, что две точки А и В плоскости Галилея совпадают в том и только в том случае, когда равно нулю как расстояние
между этими точками, так и особое расстояние 
между ними.§3. Окружность
Окружностью S плоскости Галилея мы назовем множество точек М(х, у), удаленных от фиксированной точки Q на постоянное (по абсолютной величине) расстояние r; при этом точка Q(a, b) называется центром окружности, а (неотрицательное) число r — ее радиусом. Так как
,то уравнение
или
,где
, 
.Ясно, что окружность S радиуса r с центром Q представляет собой совокупность двух особых прямых, отстоящих от точки Q на расстояние r (рис. 4, а); если радиус r окружности обращается в нуль, то эти две прямые сливаются в одну (рис. 4, б). Заметим еще, что окружность S геометрии Галилея имеет строго определенный радиус (равный половине расстояния между образующими эту окружность прямыми), но бесконечно много центров: любую точку особой прямой, содержащей точку Q, можно принять за центр этой окружности (см. рис. 4).
§4. Угол между прямыми
Угол
, между прямыми l и l1 пересекающимися в точке Q, можно определить как длину заключенной между прямыми l и l1 дуги NN1 окружности S единичного радиуса с центром в точке Q (ср. относящиеся к геометрии Евклида и к геометрии Галилея рис. 5, а и 5, б; ясно, что под «длиной дуги» NN1 окружности S геометрии Галилея надо понимать «особую длину» 
, отрезка NN1, т. е. особое расстояние между точками N и N1 содержащей их особой прямой). Определенная таким образом величина , угла, очевидно, имеет смысл в геометрии Галилея, т. е. сохраняется при движениях : ведь точку Q пересечения прямых l и l1 движение 
переводит в точку Q' пересечения полученных из l и l1 движением прямых l' и
, а единичную окружность S и дугу NN1 этой окружности — в единичную окружность S' с центром Q' и в дугу окружности S' (рис. 6). Это определение угла между прямыми в геометрии Галилея равносильно следующему: для того чтобы найти угол 
между прямыми l и l1 достаточно провести особую прямую т, удаленную от вершины Q угла на расстояние 1 и пересекающую стороны угла в точках N и N1; тогда
.Если уравнения прямых l и l1, имеют привычный вид
и 
, а координаты точки Q равны х0 и у0, то уравнение прямой m таково:
.Поэтому точки N и N1 будут иметь координаты
и 
,а следовательно,
(т. к. Q(x0, у0)—общая точка прямых l и l1 и поэтому
. Таким образом, окончательно имеем
. 
Если одну из прямых l и l1, например l1, поворачивать вокруг точки Q, устремляя ее к особой прямой т, то угол будет неограниченно возрастать (рис. 7) — явление, которое противоречит нашим представлениям, заимствованным из геометрии Евклида.
Укажем еще, что в противоположность евклидову случаю «галилеев угол» 
между двумя прямыми l и l1 определяется однозначно (рис. 5, а и б) — это обстоятельство делает весьма многие рассмотрения, относящиеся к геометрии Галилея, существенно более простыми, чем соответствующие им факты евклидовой геометрии.
Если прямые l и l1 параллельны, то определяемый по формуле угол между этими прямыми равен нулю.
§5. Треугольник
Простейшей фигурой плоскости Галилея является треугольник ABC, образованный тремя точками А, В и С и тремя соединяющими их (обыкновенными) прямыми ВС 
а, СА 
b и АВ 
с (рис. 8). При этом мы, как это принято и в геометрии Евклида, условимся обозначать теми же буквами а, b и с также и длины сторон треугольника, т. е. (положительные) расстояния
, 
и 
; буквами А, В и С мы будем обозначать не только точки плоскости — вершины треугольника, но и (положительные) величины его углов: 
, 
, 
. Отметим еще, что иногда для обозначения (положительной) длины 
некоторого отрезка АВ мы будем употреблять ту же запись АВ, что и для самого отрезка (например, такая запись будет встречаться в некоторых равенствах, содержащих длины сторон треугольника).Длины а, b, с сторон треугольника плоскости Галилея и величины А, В, С его углов не независимы: они связаны некоторыми очень простыми соотношениями. Прежде всего, очевидно, что если с — наибольшая из трех сторон, то (см. рис. 8)
. 
С другой стороны, из того же рис. 8, на котором CN || AB и, следовательно,
и 
, непосредственно следует
. «Формула углов» может быть выведена из «формулы сторон» с помощью следующего соотношения, играющего в геометрии Галилея роль, родственную роли теоремы синусов в геометрии Евклида: