Геометрия Галилея и дуальные числа (стр. 8 из 9)
Таким образом, в то время как в множестве комплексных чисел невозможно деление лишь на нуль, в множестве дуальных чисел невозможно деление на все числа вида
. Эти числа называются делителями нуля, поскольку для каждого числа указанного вида существует такое отличное от нуля число 
, что 
.Из равенства вытекает, что
.2. Сопряженные дуальные числа
На практике для нахождения частного двух дуальных чисел вместо полученной в п. 1 формулы используют, как и в случае комплексных чисел, удобный прием, основанный на свойствах сопряженных чисел: и числитель и знаменатель дроби
умножают на 
.По аналогии с комплексными переменными введем следующее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Два дуальных числа называют сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части.
Число, сопряженное дуальному числу
, обозначается 
. Таким образом, в полной аналогии с комплексными числами, имеем Re 
= Re z, Re 
= – Im z.Свойства сопряженных дуальных чисел полностью совпадают с аналогичными свойствами комплексных чисел. В частности, условие
= характеризует вещественные числа, а условие 
= – 
– чисто мнимые числа; произведение сопряженных чисел является числом вещественным. Поэтому для определения значения дроби 
достаточно домножить ее числитель и знаменатель на число 
; при этом знаменатель полученного выражения будет числом вещественным, и для того чтобы разделить на него число 
, достаточно поделить на 
отдельно Re( 
) и Im( 
).3. Модуль и аргумент дуального числа
Как известно, модулем комплексного числа
является действительное число, определенное с помощью равенства
, где 
.Аналогично, в множестве дуальных чисел, сохраняя тоже обозначение
для модуля z, положим
.А именно, введем следующее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть
– произвольное дуальное число. Действительное число x назовем модулем дуального числа z.Таким образом, модуль дуального числа может быть как положительным, так и отрицательным.
Пусть z – число, имеющее ненулевой модуль:
. В выражении 
числа z вынесем модель r этого числа за скобку как множитель:
.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Пусть
– дуальное число, имеющее ненулевой модуль. Отношение 
называют аргументом дуального числа и обозначают 
.Итак, каждое дуальное число z ненулевого модуля можно записать следующим образом:
, где
, 
.Запись аналогична тригонометрической форме комплексного числа.
Заметим, что во множестве дуальных чисел для вещественных чисел 
равен нулю, а для чисто мнимых не существует.
Форма записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходится перемножать или делить.
Пусть
и 
. Составим произведение 
этих чисел: 
.Таким образом, для дуальных чисел выполняются известные для комплексных чисел формулы:
,
, т. е. при умножении дуальных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Легко показать, что модуль частного дуальных чисел равен отношению модулей делимого и делителей, а аргумент частного – разности аргументов делителя и делимого, т. е. справедливы формулы:
, 
,
С помощью и выводятся законы равенства, позволяющие дуальное число возводит в любую натуральную степень и извлекать из него корень:
;
.Из последнего равенства вытекает, что корень нечетной степени из дуального числа при
определяется однозначно; корень же четной степени не существует, если r < 0 ,и имеет два значения, если r > 0. Корень натуральной степени n > 1 из дуального числа нулевого модуля извлечь нельзя.§7. Изображение дуальных чисел
Применение комплексных чисел в геометрии связано с геометрическим истолкованием этих чисел как точек плоскости. Каждому комплексному числу
,где
, 
, ставится в соответствие точка с прямоугольными декартовыми координатами x, y или с полярными координатами r, 
(см. рис. 15). При этом расстояние между 
двумя точками z1 и z2 совпадает с модулем разности комплексных чисел, соответствующих этим точкам, а угол между двумя прямыми, пересекающимися в точке z0 и проходящими через точки z1 и z2, равен аргументу простого отношения трех точек z0, z1 и z2, т. е.
;
; каждое движение плоскости можно записать в виде
, 
,или
, .Поскольку определение и свойства дуальных чисел аналогичны определению и свойствам комплексных чисел, возникает предположение, что каждому дуальному числу
также можно поставить в соответствие точку плоскости с прямоугольными декартовыми координатами x, y или полярными координатами r, , где , (если существует), причем расстояние между двумя точками z1 и z2 вычисляется по формуле , а угол между прямыми, пересекающимися в точке и проходящими через точки z1 и z2, – по формуле .