Геометрия Галилея и дуальные числа (стр. 9 из 9)
Так как для дуальных чисел
, 
( 
), то в этом случае расстояние d точки z от начала координат O равно x, т. е. проекции отрезка Oz на ось Ox (рис. 16), а угол 
между прямыми Ox и Oz равен 
. Заметим, что прямая Oz не параллельна оси Oy; следовательно, на ней найдется точка z0 такая, что Re z0, = 1, т. е. 
. Отсюда следует, что угол между прямыми Ox и Oz равен y0 (рис. 16). 
Таким образом, если дуальные числа интерпретировать точками плоскости в полной аналогии с комплексными числами, то получится плоскость, на которой расстояние между двумя точками и угол между двумя пересекающимися прямыми определяются особым образом. Иными словами, дуальные числа интерпретируются точками неевклидовой плоскости.
Под расстоянием между точками z1 и z2 рассматриваемой плоскости логично понимать проекцию отрезка z1z2 на ось Ox (рис. 17), т. е. разность x2 – x1. Так как для дуальных чисел
и 
модуль разности 
равен 
, то при таком определении расстояния и для дуальных чисел определяется формула . Если
, то расстояние между точками z1 и z2, определенное указанным выше способом, равно нулю. Однако в этом случае точки z1 и z2 не обязательно совпадают. Для таких точек можно определить особое (второе) расстояние, понимая под ним проекцию отрезка z1z2 на ось (рис. 18) (см. формулу ). 
Очевидно, что две точки z1 и z2 рассматриваемой плоскости совпадают в том и только в том случае, когда нулю равны оба расстояния.
Прежде чем переходить к определению основных понятий «дуальной» геометрии, скажем, что преобразования играют роль движений дуальной плоскости. (Под движением, как обычно, будем понимать преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками.)
Выше было доказано, что преобразования переводят прямые в прямые, параллельные прямые в параллельные прямые, сохраняют пропорциональность отрезков, принадлежащих одной прямой, сохраняют площадь.
С помощью дуальных чисел угол
между прямыми, пересекающимися в точке 
и проходящими через точки z1 и z2, выражается уже знакомой формулой , т. е.
,где
, как в случае комплексных чисел, – простое отношение трех точек 
. Соотношения следуют из того, что 
, где 
, 
(рис. 19).z1
Как уже было отмечено, угол между параллельными прямыми равен нулю. В этом случае можно говорить о расстоянии
между этими прямыми.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Под расстоянием между параллельными прямыми l1 и l2 будем понимать (особую) длину заключенного между прямыми l1 и l2 отрезка М1М2 особой прямой. (Рис. 20)
Так как особые прямые переводятся движениями снова в особые прямые, то определенное таким образом расстояние имеет смысл в рассматриваемой геометрии.
Если уравнения прямых l1 и l2 имеют вид
и 
,то
.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Расстоянием 
от точки М до прямой l условимся называть (особое) расстояние от точки М до точки пересечения прямой l с особой прямой, проходящей через точку М. (Рис. 21)
Это определение можно обосновать следующим образом: в евклидовой геометрии расстояние от М до прямой l – это расстояние от точки М до самой близкой к М точки Р прямой l; в рассматриваемой геометрии «самая близкая» к М точка Р прямой l удалена от М на нулевое расстояние, поэтому расстояние от точки М до прямой l приходится измерять особым расстоянием между М и Р. Аналогично обстоит дело и с определением 5.
Из определений 5 и 6 следует, что роль перпендикуляров к прямой в геометрии Галилея, к которой мы пришли, отождествляя дуальные числа с точками плоскости, играют особые прямые.
Заключение
В дипломной работе изложены представления о простейших геометриях аффинного типа, а также основные понятия и свойства геометрии Галилея, в которой движениями служат так называемые преобразования Галилея, соответствующие (по сути) переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Определены основные понятия геометрии Галилея (понятия расстояния, прямой, угла, окружности, треугольника). Рассмотрены понятие дуальных чисел и операций над ними, показана связь дуальных чисел с геометрией Галилея.
Цели данной работы достигнуты.
В результате можно сделать вывод о том, что геометрия Галилея на плоскости полностью совпадает с геометрией плоскости дуальных чисел.
Данный предложенный материал можно использовать для ведения факультативных занятий в классах с углубленным изучением математики.
Литература
1. Ефимов И.В. Высшая геометрия – М. 1978 г. (с. 9-38)
2. Измайлова Г. С., Сафарова А. Д. «Преобразование плоскости в задачах», Оренбург: издательство ОГПУ, 2001 г.(с. 18-22)
3. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа – М. 1973 г. (с. 9-14)
4. Котова Ю. «Дуальные числа и геометрия Галилея», газета «Математика» №2 и №7 за 1995 г.
5. Постников М. М. «Аналитическая геометрия», М: Наука, 1973 г.(с. 617-633, 707-726)
6. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства – М.: Наука, 1969 г. (с. 251-304)
7. Яглом И. М. «Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия», М: Наука, 1969 г. (с. 13-68)