Геометрия Галилея и дуальные числа (стр. 1 из 9)

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

Историческая справка…………………………………………………………….4

ГЛАВА 1. Простейшие геометрии аффинного типа

§1. Теоретико-групповой подход к геометрии…………………………5

§2. Эквиаффинная система……………………………………………...9

§3. Аффинные преобразования и их свойства………………………..11

§4. Подобие как частный случай аффинного преобразования………13

ГЛАВА 2. Геометрия Галилея и дуальные числа

§1. Определение геометрии Галилея…………………………………..15

§2. Расстояние между точками………………………………………...19

§3. Окружность………………………………………………………….21

§4. Угол между прямыми………………………………………………22

§5. Треугольник………………………………………………………...25

§6. Дуальные числа и операции над ними……………………………33

§7. Изображение дуальных чисел……………………………………...39

§8. Решение задач……………………………………………………….

Заключение……………………………………………………………………….45

Литература……………………………………………………………………….46

Введение

Планиметрия — наука о свойствах фигур плоскости, инвариантных относительно движений плоскости. Фигуры, которые можно совместить движениями, геометрия считает равными и не различает. Всем известны движения евклидовой планиметрии: параллельный перенос, поворот, осевая симметрия. Если изменить группу движений, например, добавить преобразования подобия, то изменится и геометрия. В определённом смысле любая группа преобразований порождает свою геометрию.Целью работы является пробуждение интереса учителей к теории дуальных чисел и геометрии Галилея, а также рассмотрение простейших геометрий аффинного типа.Достижение цели предусматривает решение следующих задач:· подобрать и изучить литературу, содержащую материал по теме;· познакомиться с основными понятиями и определениями геометрии Галилея;· рассмотреть материал о дуальных числах, действиях над ними и их геометрическую интерпретацию;· сравнить геометрию Галилея с геометрией плоскости дуальных чисел.В данной работе рассматривается в начале общая классификация форм преобразований плоскости с примерами и, далее, одна из неевклидовых геометрий – геометрия Галилея. В чём-то эта странная геометрия отличается от евклидовой, а в чём-то похожа на неё.Работа состоит из двух глав.В первой главе рассматриваются геометрии аффинного типа в следующем порядке: теоретико-групповой подход к геометрии, эквиаффинная система, аффинные преобразования и их свойства, подобие как частный случай аффинного преобразования.Во второй главе логическим продолжением этой темы является знакомство с геометрией Галилея и дуальными числами в следующей последовательности: определение геометрии Галилея, задание расстояния между точками, окружность, угол между прямыми, треугольник, дуальные числа и операции над ними, изображение дуальных чисел, также показано решение 17 задач.

Историческая справка

Отдельно необходимо поднять вопрос о наименовании геометрической системы. В научной литературе рассмотренная ниже геометрия именуется «полуевклидовой», «флаговой», «параболической», «изотропной» или «галилеевой»; однако ни одно из этих названий нельзя признать полностью удачным. Термины «флаговая геометрия», «параболическая геометрия» (или «дважды параболическая геометрия») и «изотропная геометрия» оправдываются обстоятельствами, которые никак не могут быть раскрыты в элементарном сочинении, рассчитанном на лиц, не обладающих серьезной математической подготовкой. Достоинством термина «полуевклидова геометрия» является его близость к названию «псевдоевклидова геометрия», принятому для геометрии, связанной с принципом относительности Эйнштейна; кроме того этот термин звучит достаточно обыденно и не апеллирует к неизвестным читателям понятиям вроде «флага», «изотропной плоскости» или «параболической метрики». Однако первое достоинство названия «полуевклидова геометрия» могут оценить лишь лица, знакомые с «псевдоевклидовой геометрией Минковского»; второе же является одновременно и недостатком, поскольку для читателя, неискушенного в современной научной терминологии, наименование «полуевклидова геометрия» будет звучать слишком уж «чудно» (это нечто вроде «евклидовой полугеометрии»?). Наконец, наиболее укоренившееся за последнее время название «геометрия Галилея» исторически неточно – Галилео Галилей, творчество которого относится к началу XVII столетия, разумеется, не знал этой геометрии, так как идея о существовании ряда равноправных геометрических систем относится к числу наибольших научных достижений XIX века. Более точным является наименование «геометрия, связанная с принципом относительности Галилея» однако оно слишком длинно для того, чтобы его можно было употреблять систематически. Вот почему мы все же используем название «(неевклидова) геометрия Галилея», некоторым оправданием которого может служить та блистательная ясность и полнота, с которой сформулировал Галилей свой «принцип относительности», непосредственно приводящий к рассматриваемой (неевклидовой!) геометрии.

Глава I. Простейшие геометрии аффинного типа.

§1. Теоретико-групповой подход к геометрии

Теория геометрических преобразований лежит в основе общего определения геометрии.

Пусть дана группа преобразований G некоторого непустого множества М. Две фигуры F и F' называются G-эквивалентными, если в группе G найдётся такое преобразование f, что f(F)=F'. Понятие G-эквивалентности является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств множества М. Например, если М - множество точек плоскости, а G – группа движений, то «G-эквивалентность» заменяется термином «равенство», если G – подобие, то «G-эквивалентность» – «подобие», если G – аффинное преобразование, то «G-эквивалентность» – «аффинная эквивалентность».

Пусть F – данная фигура

. Те свойства фигуры F, которые сохраняются при любых преобразованиях из G, называют инвариантными свойствами фигуры F относительно группы G.

Геометрия – наука, изучающая такие свойства фигур, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях некоторой группы.

Схема включения изученных групп преобразований плоскости:

Инварианты главных групп преобразований плоскости

	Расстояние между точками	Скалярное произведение векторов	Величина угла	Отношение отрезков	Отношение параллельных отрезков	Простое отношение трех точек	Параллельность прямых
Группа движений плоскости	-	-	-	-	-	-	-
Группа подобий			-	-	-	-	-
Группа аффинных преобразований					-	-	-

Рассмотрим простейшие геометрии аффинного типа.

Наиболее близкой к аффинной геометрии геометрией аффинного типа является геометрия с группой всех аффинных преобразований, сохраняющих ориентации. Мы будем называть эту геометрию специальной аффинной геометрией.

Замечание. Отметим, что в то время как имеет смысл говорить об аффинной геометрии над произвольным полем К, специальная аффинная геометрия определена лишь над полем R.

«Евклидовым» вариантом специальной аффинной геометрии является специальная евклидова геометрия с группой

всех сохраняющих ориентации ортогональных преобразований. Эта геометрия отличается от евклидовой геометрии только тем, что симметричные фигуры в ней считаются различными.

Чтобы проиллюстрировать различие между евклидовой и специальной евклидовой геометрией, можно, например, указать, что понятие векторного произведения принадлежит специальной евклидовой геометрии (пространства); в собственно евклидовой геометрии это понятие отсутствует.

Плоскость, в которой действует специальная аффинная (или специальная евклидова) геометрия, естественно называть специальной аффинной (соответственно – евклидовой) плоскостью. Чтобы из аффинной плоскости

получить специальную аффинную плоскость , нужно выбрать некоторую аффинную координатную систему и рассмотреть все аффинные координатные системы вида , где . При этом две аффинные координатные системы и тогда и только тогда приводят к одной и той же специальной аффинной плоскости, когда , т. е. когда эти системы одноименны (определяют одну и ту же ориентацию). Следовательно, переход от аффинной плоскости к специальной аффинной плоскости заключается в выборе на плоскости некоторой ориентации. В этом смысле можно сказать, что специальные аффинные плоскости являются не чем иным, как ориентированными аффинными плоскостями.