Геометрия 10 класс Бевз профиль (стр. 2 из 16)

Ïðîãðàìíó òåìó «Îðòîöåíòðè÷íèé òåòðàåäð» äåùî ðîçøèðåíî і âìіùåíî â äîäàòêàõ «Åëåìåíòè ãåîìåòðії òåòðàåäðà». Òàì ìіñòèòüñÿ ùå êіëüêà òåì, â ÿêèõ ïîãëèáëåíî ðîçãëÿäàþòüñÿ äåÿêі íàéâàæëèâіøі âëàñòèâîñòі íàéïðîñòіøîãî ìíîãîãðàííèêà – òåòðàåäðà. Öі òåìè àäðåñóєìî äëÿ ñàìîñòіéíîãî îïðàöþâàííÿ òèì ó÷íÿì, ÿêі ìàþòü áàæàííÿ çàéìàòèñÿ ïîñèëüíîþ äëÿ ïî÷àòêіâöіâ íàóêîâî-äîñëіäíîþ ðîáîòîþ. À çàäà÷і, ùî є â «Äîäàòêàõ», ìîæíà ïðîïîíóâàòè âñіì ó÷íÿì.

Іíîäі ââàæàþòü, ùî íàéâàæëèâіøå â ãåîìåòðії – äîâåäåííÿ òåîðåì. Çâè÷àéíî, ó÷èòèñÿ äîâîäèòè òåîðåìè – ñïðàâà êîðèñíà. Àëå íå ìåíøó ðîëü ó öіé íàóöі âіäіãðàþòü ïîíÿòòÿ, їõ îçíà÷åííÿ і êëàñèôіêàöії; ãåîìåòðè÷íі ôіãóðè, їõ ïîáóäîâà і ïåðåòâîðåííÿ; ãåîìåòðè÷íі âåëè÷èíè, їõ âèìіðþâàííÿ òà îá÷èñëåííÿ. Îäèí ç âіäîìèõ ãåîìåòðіâ XX ñò. Ä. Ãіëüáåðò ïèñàâ: «Ó âåëè÷åçíîìó ñàäó ãåîìåòðії êîæíèé ìîæå ïіäіáðàòè ñîáі áóêåò çà ñìàêîì».

Çàïðîøóєìî âàñ ó öåé áàãàòèé і äèâíèé ñâіò Ãåîìåòðії.

Àâòîðè

§ 1 ОПОРНІ ФАКТИ ПЛАНІМЕТРІЇ

Ïðèãàäàєìî íàéâàæëèâіøі âіäîìîñòі ç ïëàíіìåòðії, ÿêі ÷àñòî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â ñòåðåîìåòðії.

Àêñіîìè ïëàíіìåòðії. Îñíîâíå â ãåîìåòðії – її ïîíÿòòÿ і òâåðäæåííÿ. Äëÿ áіëüøîñòі ïîíÿòü ôîðìóëþþòüñÿ îçíà÷åííÿ, àëå іñíóþòü ïîíÿòòÿ íåîçíà÷óâàíі. Öå – òî÷êà, ïðÿìà, ïëîùèíà òà äåÿêі іíøі.

Ïåðåâàæíó áіëüøіñòü ãåîìåòðè÷íèõ òâåðäæåíü äîâîäÿòü, òîáòî ïîêàçóþòü, ùî âîíè ÿê ëîãі÷íі íàñëіäêè âèïëèâàþòü ç іíøèõ іñòèííèõ òâåðäæåíü. À ÿê áóòè, êîëè íà ïî÷àòêó êóðñó ùå íåìàє «іíøèõ òâåðäæåíü»? Ó öèõ âèïàäêàõ êіëüêà òâåðäæåíü ïðèéìàþòü çà іñòèííі áåç äîâåäåíü. Їõ íàçèâàþòü àêñіîìàìè. À äîâîäæóâàíі òâåðäæåííÿ – òåîðåìàìè.

Äëÿ ïëàíіìåòðії, ÿê і äëÿ іíøèõ íàóê ÷è òåîðіé, ìîæíà îáèðàòè ðіçíі ñèñòåìè àêñіîì. Îäíà ç íèõ ìîæå áóòè òàêîþ.

1. ßêà á íå áóëà ïðÿìà, іñíóþòü òî÷êè, ùî íàëåæàòü öіé ïðÿìіé, і òî÷êè, ùî їé íå íàëåæàòü.

2. ×åðåç áóäü-ÿêі äâі ðіçíі òî÷êè ìîæíà ïðîâåñòè ïðÿìó і òіëüêè îäíó.

3. Іç òðüîõ òî÷îê ïðÿìîї îäíà і òіëüêè îäíà ëåæèòü ìіæ äâîìà іíøèìè.

4. Êîæíèé âіäðіçîê ìàє ïåâíó äîâæèíó.

5. Êîæíèé êóò ìàє ïåâíó ìіðó.

6. Ïðÿìà ðîçáèâàє ïëîùèíó íà äâі ïіâïëîùèíè.

7. Íà áóäü-ÿêіé ïðÿìіé âіä çàäàíîї òî÷êè ó çàäàíîìó íàïðÿìі ìîæíà âіäêëàñòè âіäðіçîê äàíîї äîâæèíè і òіëüêè îäèí.

8. Âіä áóäü-ÿêîãî ïðîìåíÿ ó äàíіé ïіâïëîùèíі ìîæíà âіäêëàñòè äàíèé êóò ç âåðøèíîþ ó ïî÷àòêó ïðîìåíÿ і òіëüêè îäèí.

9. ßêèé áè íå áóâ òðèêóòíèê, іñíóє ðіâíèé éîìó òðèêóòíèê ó çàäàíîìó ðîçìіùåííі âіäíîñíî çàäàíîї ïðÿìîї.

10. ×åðåç òî÷êó, ùî íå ëåæèòü íà äàíіé ïðÿìіé, ìîæíà ïðîâåñòè òіëüêè îäíó ïðÿìó, ïàðàëåëüíó äàíіé ïðÿìіé (àê ñіî ìà Åâêëіäà).

Ðîçäіëè ïðî ãåîìåòðè÷íі âåëè÷èíè, ãåîìåòðè÷íі ïåðåòâîðåííÿ і ïîáóäîâè ïîòðåáóþòü äîäàòêîâèõ àêñіîì.

Ïàðàëåëüíі і ïåðïåíäèêóëÿðíі ïðÿìі. Äâі ïðÿìі îäíієї ïëîùèíè íàçèâàþòüñÿ ïàðàëåëüíèìè, ÿêùî âîíè íå ïåðåòèíàþòüñÿ. Äâà âіäðіçêè àáî ïðîìåíі íàçèâàþòü ïàðàëåëüíèìè, ÿêùî âîíè íàëåæàòü ïàðàëåëüíèì ïðÿìèì.

Ìàë. 3

Ãåîìåòðè÷íèì ìіñöåì òî÷îê ïëîùèíè, ðіâíîâіääàëåíèõ âіä êіíöіâ âіäðіçêà, є ñåðåäèííèé ïåðïåíäèêóëÿð äî öüîãî âіäðіçêà (ìàë. 5).

ßêùî ÀÎ  ÂÎ і ÑÎ  ÀÂ, òî ÀÑ  ÂÑ.

Ãåîìåòðè÷íå ìіñöå òî÷îê êóòà, ðіâíîâіääàëåíèõ âіä éîãî ñòîðіí, – áіñåêòðèñà öüîãî êóòà (ìàë. 6).