Геометрия 10 класс Бевз профиль (стр. 4 из 16)

– ñóìà êâàäðàòіâ äіàãîíàëåé ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє ñóìі

Îêðåìі âèäè ïàðàëåëîãðàìіâ – ïðÿìî-

– äіàãîíàëі ïðÿìîêóòíèêà (êâàäðàòà)

– äіàãîíàëі ðîìáà (êâàäðàòà) ïåðïåíäèêó-

×îòèðèêóòíèê, ó ÿêîãî òіëüêè äâі ñòî-

áі÷íі ñòîðîíè. Îêðåìі âèäè òðàïåöіé – ðіâíîáі÷íі і ïðÿìîêóòíі òðàïåöії. Âіäðіçîê, ùî ñïîëó÷àє ñåðåäèíè áі÷íèõ ñòîðіí òðàïåöії , – її ñåðåäíÿ ëіíіÿ. Ñåðåäíÿ ëіíіÿ òðàïå öії ïàðàëåëüíà її îñíîâàì і äîðіâíþє їõ ïіâñóìі.

Ñïіââіäíîøåííÿ ìіæ îêðåìèìè âèäàìè ÷îòèðèêóòíèêіâ ïîêàçàíî íà ìàëþíêó 10.

Âïèñàíі é îïèñàíі ÷îòèðèêóòíèêè (ìàë.

11 і 12)

Ïëîùі ÷îòèðèêóòíèêіâ. Ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє äîáóòêó äâîõ éîãî ñóñіäíіõ ñòîðіí: S  ab.

S  ah_a, àáî S  absin ,

äå à, b – éîãî ñòîðîíè,  – êóò ìіæ íèìè, h_a – âèñîòà, îïóùåíà ßêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü d₁ і d₂, à êóò

.

Ïëîùà òðàïåöії äîðіâíþє äîáóòêó ïіâñóìè її îñíîâ íà âè -

Êîëî. Êóòè òà âіäðіçêè, ïîâ’ÿçàíі ç êîëîì. Êîëî – ôіãóðà, ùî ñêëàäàєòüñÿ ç óñіõ òî÷îê ïëîùèíè, ðіâíîâіääàëåíèõ âіä äàíîї òî÷êè – öåíòðà êîëà. ×àñòèíà ïëîùèíè, îáìåæåíà êîëîì, – êðóã. Ðàäіóñ – âіäðіçîê, ùî ñïîëó÷àє áóäüÿêó òî÷êó êîëà ç éîãî öåíòðîì. Âіäðіçîê, ùî ñïîëó÷àє äâі äîâіëüíі òî÷êè êîëà, íàçèâàþòü õîðäîþ. Õîðäà, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð êîëà, – äіàìåòð.

Ïðÿìà, ÿêà ìàє ç êîëîì òіëüêè îäíó ñïіëüíó òî÷êó і ëåæèòü ó ïëîùèíі êîëà, íàçèâàєòüñÿ äîòè÷íîþ äî êîëà.

Ìàþòü ìіñöå òàêі âëàñòèâîñòі:

• äіàìåòð êîëà, ïðîâåäåíèé ÷åðåç ñåðåäèíó õîðäè, âіäìіííîї âіä äіàìåòðà, ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî íåї;

• äîòè÷íà äî êîëà ïåðïåíäèêóëÿðíà äî ðàäіóñà, ïðîâåäåíîãî â òî÷êó äîòèêó;

• âіäðіçêè äîòè÷íèõ, ïðîâåäåíèõ äî êîëà ç îäíієї òî÷êè, ðіâíі;

• AM  BM  CMDM (ìàë. 13);

• AK²  AB  AC (ìàë. 14);

• âïèñàíèé êóò âèìіðþєòüñÿ ïîëîâèíîþ äóãè, íà ÿêó âіí ñïèðàєòüñÿ (ìàë. 15):

;

ëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé, êîëè, âðàõîâóþ÷è íàïðÿìè âіä ðіçêіâ,

Òåîðåìà ×åâè. Íåõàé A₁, B₁, C₁ – òðè òî÷êè, ÿêі ëåæàòü âіäïîâіäíî íà ñòîðîíàõ BC, CA, AB ABC àáî íà їõ ïðîäîâæåííÿõ (ìàë. 19). Äëÿ òîãî ùîá ïðÿìі AA₁, BB₁ і CC₁ ïåðåòèíàëèñÿ â îäíіé òî÷öі àáî áóëè âñі ïàðàëåëüíі, íåîáõіäíî і äîñòàòíüî, ùîá âèêîíóâàëàñü óìîâà:

Îñòàííþ ðіâíіñòü íàçèâàþòü óìîâîþ ×åâè.

Ïðÿìà Åéëåðà. Îðòîöåíòð H òðèêóòíèêà, éîãî öåíòðîїä M і öåíòð O îïèñàíîãî êîëà ëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé (ìàë. 20), ïðè÷îìó OM : MH  1 : 2.

Êîëî Åéëåðà (êîëî äåâ’ÿòè òî÷îê). Îñíîâè âèñîò òðèêóòíèêà, ñåðåäèíè éîãî ñòîðіí і ñåðåäèíè âіäðіçêіâ, ÿêі ñïîëó÷àþòü îðòîöåíòð òðèêóòíèêà ç éîãî âåðøèíàìè, ëåæàòü íà

îäíîìó êîëі (ìàë. 21). Öåíòð öüîãî êîëà çáіãàєòüñÿ іç ñåðåäèíîþ âіäðіçêà, ÿêèé ñïîëó÷àє îðòîöåíòð òðèêóòíèêà і öåíòð îïèñàíîãî êîëà. Éîãî ðàäіóñ äîðіâíþє ïîëîâèíі ðàäіóñà îïèñàíîãî êîëà.

Ïðÿìà Ñіìñîíà. Îñíîâè ïåðïåíäèêóëÿðіâ, îïóùåíèõ íà ñòîðîíè òðèêóòíèêà ç òî÷êè îïèñàíîãî êîëà, ëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé.

Êîëî Àïîëëîíіÿ. Ãåîìåòðè÷íèì ìіñöåì òî÷îê, âіäíîøåííÿ âіäñòàíåé âіä ÿêèõ äî äâîõ äàíèõ òî÷îê ñòàëå, є êîëî.

Êîîðäèíàòè íà ïëîùèíі. Ïëîù èíó, íà ÿêіé çàäàíî ñè ñòåìó êîîðäèíàò, íàçèâàþòü êîîðäèíàòíîþ ïëîùèíîþ. Êîæíіé òî÷öі êîîðäèíàòíîї ïëîùèíè âіäïîâіäàє єäèíà ïàðà äіéñíèõ ÷èñåë (êîîðäèíàòè öієї òî÷êè), à êîæíіé ïàðі äіéñíèõ ÷èñåë – єäèíà òî÷êà êîîðäèíàòíîї ïëîùèíè.