Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии (стр. 8 из 16)
Если теперь сторона b больше
, а сторона с меньше , то продолжим стороны а и b нашего треугольника до пересечения в точке С', диаметрально противоположной точке С (рис.32).Тогда в сферическом треугольнике АВС' стороны АС' и АВ, соответственно равные 
и с, меньше , а угол ВАС, смежный с углом А, равен p - А. Поэтому в силу формулы (7) для треугольника АВС' 
,т.е.
,откуда получаем формулу (7).
Рис. 32
Если, наконец, обе стороны b и с больше
, то продолжим стороны b и с нашего треугольника до пересечения в точке А¢, диаметрально противоположной точке А (рис.33). Тогда в сферическом треугольнике А¢ВС стороны СА¢ и ВА¢, соответственно равные pr-b и pr-c, меньше , а ÐВА'С равен углу А. Поэтому с силу формулы (7) для треугольника А'ВС 
,откуда непосредственно получаем формулу (7).
Рис.33
Формула (7) выражает сферическую теорему косинусов, которую обычно формулируют в следующем виде: косинус стороны сферического треугольника равен сумме произведения косинусов двух других сторон и произведения синусов двух других сторон на косинус угла между ними.
Заменяя в формуле (7) обозначения сторон а, b, с и углов А, В, С в круговом порядке, получаем две аналогичные формулы
(8)и
(9)7.2. Сферическая теорема синусов
Докажем теперь сферическую теорему синусов, аналогичную теореме синусов плоской тригонометрии. Из формулы (7) вытекает равенство
.Применяя это равенство, вычислим отношение
.Так как полученное выражение симметрично относительно сторон a,b,c, то оно равно аналогичным выражениям, полученным из левой части этого равенства заменой сторон a,b,c и углов А, В, С в круговом порядке. Извлекая квадратный корень из этих выражений, получаем три равные выражения:
(10)Эта формула и выражает сферическую теорему синусов: синусы сторон сферического треугольника относятся, как синусы противолежащих углов. Из формулы (10), в частности видно, что если в сферическом треугольнике имеет место соотношение
, так что sinB=sinA, то в силу формулы (10) 
, т.е. либо a=b, либо 
. Но если a=b, то А=В и в соответствии с соотношением это даёт 
. Следовательно, С – полюс стороны АВ, и потому 
. Таким образом, соотношение справедливо и в этом случае. Итак, если , то стороны a и b связаны соотношением .7.3. Формулы пяти элементов
Одна из формул пяти элементов: произведение синуса стороны сферического треугольника на косинус прилежащего угла равно разности произведения косинуса стороны, лежащей против этого угла, на синус третьей стороны и произведения синуса стороны, лежащей против данного угла, на косинус третьей стороны и косинус стороны, лежащей против данного угла.
(11) 
(12) 
(13)Меняя в формуле (11) местами стороны а и с и углы А и С, а затем заменяя обозначения сторон a, b, c и углов А, В, С в круговом порядке, мы получим еще три аналогичные формулы
(14) 
(15) 
(16)Эти формулы аналогичны теоремам проекций плоской тригонометрии.
Заменяя в формуле (11)
пропорциональными и величинами sinA, sinB и sinC, мы получим формулу 
или
. (17)Мы получили формулу пяти элементов другого вида, которую обычно формулируют в виде: произведение косинуса стороны сферического треугольника на синус прилежащего угла равно сумме произведения косинуса угла, лежащего против этой стороны, на синус третьего угла и произведения синуса угла, лежащего против данной стороны, на косинус третьего угла и на косинус стороны, лежащей против данного угла.
Заменяя в формуле (17) обозначения сторон а, b, с и углов А, B, С в круговом порядке, мы получим еще две аналогичные формулы
(18) 
(19)Меняя в формуле (17) местами стороны а и с и углы Aи C, а затем заменяя обозначения сторон а, b, с и углов A, В, С в круговом порядке, мы получим еще три аналогичные формулы:
(20) 
(21) 
. (22)Эти формулы не имеют аналогов в плоской тригонометрии.
7.4. Двойственная теорема косинусов.
Докажем теперь двойственную теорему косинусов, также не имеющую аналога в плоской тригонометрии. Подставим значение
из равенства (20) в равенство (19). Получим 
,или
,т. е.
или, после сокращения на sinC,
. (23)Формула (23) выражает двойственную сферическую теорему косинусов, которую обычно формулируют в виде: косинус угла сферического треугольника равен произведению синусов двух других углов на косинус стороны между ними без произведения косинусов двух других углов.
Заменяя в формуле (23) обозначения сторон а, b, с и углов A, В, С в круговом порядке, мы получим две аналогичные формулы:
, (24) 
. (25)Формулы (23), (24) и (25) двойственной теоремы косинусов могут быть получены также соответственно из формул (7), (8) и (9) теоремы косинусов, если записать эти формулы для полярного треугольника и использовать соотношения между углами и сторонами двух взаимно полярных треугольников; этим и объясняется название этой теоремы.
Заметим, что при малых значениях отношении
, 
и 
т. е. при очень малых длинах сторон а, b, с сферического треугольника или при очень большом радиусе сферы r, сферическая геометрия мало отличается от плоской геометрии и тригонометрические соотношения в сферическом треугольнике можно заменить тригонометрическими соотношениями в плоском треугольнике. И в самом деле, при малых значениях переменного х можно пренебречь высшими степенями этого переменного и, следовательно, можно заменить 
на x, а 
на 
или даже на 1. Но при такой замене, как легко проверить, сферические теоремы косинусов и синусов переходят в одноименные плоские теоремы, первые шесть формул пяти элементов переходят втеоремы проекций плоской тригонометрии, а вторые шесть формул пяти элементов и двойственная теорема косинусов, не имеющие аналогов в плоской тригонометрии, переходят в соотношение A+В+С = p.