3. В пространстве

множество

будет компактным, поскольку какую бы мы ни взяли бесконечную последовательность его элементов, из неё всегда можно будет выделить подпоследовательность, состоящую из одного элемента множества, которая, очевидно, будет сходящейся к этому элементу множества (определение).
4. В пространстве

рассмотрим множество элементов

,

, … (у последовательности

единица стоит на

–м месте, а на остальных местах нули). Оно ограничено и замкнуто, но никакая подпоследовательность последовательности

не фундаментальна и, значит, не сходится, поскольку

при

. Множество некомпактно.
1.5 Линейные операторы и линейные функционалы
Пусть

– линейные нормированные пространства.
Определение: Линейным оператором, действующим из

в

, называется отображение

, удовлетворяющее условию:

для любых

,

.
Будем говорить, что в

(вещественной или комплексной линейной системе) определен функционал

, если каждому элементу

поставлено в соответствие некоторое вещественное (комплексное) число

.
Определение: Линейный оператор, действующий из Е в Е1, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.
Определение: Оператор А называется непрерывным в точке

, если для любой последовательности

выполняется условие

.
Определение: Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке пространства Е.
Теорема: Для того, чтобы линейный оператор

был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.
Доказательство.
1. Пусть оператор А неограничен. Тогда существует М
Е – ограниченное множество, такое, что множество
АМ
Е1не ограничено. Следовательно, в
Е1 найдется такая окрестность нуля
V, что ни одно из множеств
АМ не содержится в V. Но тогда существует такая последовательность
хn
M , что ни один из элементов
Ахn не принадлежит
V и получаем, что

в
Е, но

не сходится к 0 в
Е; это противоречит непрерывности оператора
А.
2. Если оператор А не непрерывен в точке 0, то в Е1 существует такая последовательность

, что
Ахn не стремится к 0. При этом последовательность

ограничена, а последовательность

не ограничена. Итак, если оператор
А не непрерывен, то
А и не ограничен.
Определение: Оператор называется конечномерным, если он ограничен и переводит данное пространство в конечномерное.
Определение: Функционал

называется линейным, если

Линейный функционал – это частный случай линейного оператора.
([1], стр. 217), ([1], стр. 125)
Примеры линейных функционалов:
1. Пусть

– мерное арифметическое пространство с элементами

и

– произвольный набор из

– фиксированных чисел. Тогда

является линейным функционалом.
2. Пример линейного функционала в

Пусть

– фиксированное целое положительное число. Для каждого

из

положим

. Таким образом

является линейным функционалом в

.
1.6. Сопряженные операторы
Определение: Совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором линейном нормированном пространстве

, образует линейное пространство, которое называется пространством, сопряженным с

, и обозначается

Рассмотрим непрерывный линейный оператор

, отображающий линейное топологическое пространство

в такое же пространство

. Пусть

– линейный функционал, определенный на

, т. е.

.
Применим функционал

к элементу

. Функционал

есть непрерывный линейный функционал, определенный на

. Обозначим его через

. Функционал

есть, таким образом, элемент пространства

(сопряженное с

). Каждому функционалу

мы поставили в соответствие функционал

, т.е. получили некоторый оператор, отображающий

в

. Этот оператор называется сопряженным к оператору

и обозначается

. Обозначив значение функционала

на элементе

символом

, получим, что

, или

.