Компактные операторы (стр. 5 из 6)

5. Оператор, сопряженный компактному оператору, компактен ([1], стр.241).

Примеры некомпактного и компактных операторов

Пусть

– единичный оператор в банаховом пространстве . Покажем, что если бесконечномерно, то оператор не вполне непрерывен. Для этого достаточно показать, что единичный шар в (который переводится оператором в себя) не компактен. Это в свою очередь вытекает из следующей леммы.

Лемма: Пусть

– линейно независимые векторы в нормированном пространстве и пусть – подпространство порожденное векторами . Тогда существует последовательность векторов , удовлетворяющая следующим условиям:

1)

2)

3)

– расстояние вектора от , т.е.

Пользуясь этой леммой, в единичном шаре всякого бесконечномерного нормированного пространства можно построить последовательность векторов

, для которой . Ясно, что такая последовательность не может содержать никакой сходящейся подпоследовательности. А это и означает отсутствие компактности.

Примеры компактных операторов.

1.Простейшим примером компактного оператора является одномерный линейный оператор вида:

, где – фиксированный элемент из пространства , а – фиксированный линейный функционал из пространства , которое является банаховым пространством.

2.Рассмотрим в пространстве

оператор , преобразующий в себя и задаваемый бесконечной системой равенств при условии, что двойной ряд сходится. Такой оператор линеен и норма . Докажем что он компактен. Введем матричные линейные операторы в пространстве , определяемые матрицами , следующим образом:

, где при , и при .

Иными словами, матрица

получается из матрицы , если элементы всех строк , начиная с , заменить нулями. Отсюда вытекает, что, если , то, каков бы ни был элемент , будет при . Следовательно, совокупность значений каждого из операторов конечномерна, а потому операторы вполне непрерывны. Представим разность с помощью матрицы. Из оценки видно, что .

Следовательно, оператор

компактен. ([2], стр. 307).

3. В пространстве непрерывных функций

важный класс компактных операторов образуют операторы вида:

(3), где функция непрерывна на квадрате .

Покажем справедливость следующего утверждения: если функция

непрерывна на квадрате , то формула (3) определяет в пространстве компактный оператор.

Действительно, в указанных условиях интеграл (3) существует для любого

из , то есть функция определена. Пусть . На квадрате функция равномерно непрерывна по теореме Кантора, т.к. она непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве в . Значит,

.

Оценим разность

:

, при .

Полученное равенство показывает, что функция

непрерывна, то есть формула (3) действительно определяет оператор, переводящий пространство в себя.