Компактные операторы (стр. 6 из 6)

Из этого же неравенства видно, что если

– ограниченное множество в , то соответствующее множество равностепенно непрерывно. Таким образом, если выполняется неравенство , то ,

То есть ограниченное множество перейдет в равномерно ограниченное. Таким образом, оператор (3) переводит всякое ограниченное множество из

в множество функций, равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное, т.е. предкомпактное по теореме Арцела.

4. Оператор Вольтерра

Рассмотрим оператор

, где , в .

Для доказательства компактности оператора Вольтерра покажем, что множество

, равностепенно непрерывно и равномерно ограничено.

1) Равномерная ограниченность.

Оценим

,

а это значит, что множество равномерно ограниченно.

2) Равностепенная непрерывность.

По определению, равностепенная непрерывность означает, что

. Возьмем произвольную функцию . Найдем ее образ . Тогда .

Тогда, если положить

, равностепенная непрерывность показана.

Таким образом, компактность оператора Вольтерра доказана.

Литература

1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Физматлит, 2004.

2. Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ [Текст] / Б.З. Вулих. –Изд. 2, перераб. и доп. – М., 1967.

3. Князев, П.Н. Функциональный анализ [Текст] / П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 2003.

4. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа [Текст] / Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1951.