Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 16 из 21)

Ответ:

.

Иррациональные уравнения, содержащие параметр

Уравнение вида

называется иррациональным с параметром относительно неизвестного , если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно .

Как и раньше, будем находить только действительные корни.

Трудно указать какой-нибудь общий и вместе с тем достаточно простой способ решения иррациональных уравнений, содержащих параметр.

Проиллюстрируем некоторые способы решения на примерах.

Пример 3. Для каждого действительного значения параметра

решить уравнение

.

Решение. Исходное уравнение равносильно смешанной системе

При

эта система решений не имеет.

При

получим решение

Теперь необходимо найти те значения

, при которых эта система имеет решение:

Ответ: при

– корней нет;

при

.

Для решения иррационального уравнения иногда удобно ввести вспомогательную неизвестную величину. При этом получаем квадратное уравнение с параметром, которое нужно решить в пределах некоторого ограниченного множества значений нового неизвестного.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Область определения данного уравнения:

Так как

и , то и .

Сделаем замену

, тогда и исходное уравнение можно записать в виде системы

которая равносильна системе

Корни уравнения

должны удовлетворять первому условию последней системы, то есть необходимо решить систему

Итак, при

исходное уравнение имеет единственный корень . Отсюда при имеем

,

Ответ: при

;

при

– корней нет.

Иррациональные показательные уравнения

Пример 5. Решить уравнение

.

Решение. Перепишем уравнение так:

,

Приведем все степени к одному основанию 7:

.

Сделаем замену

, , тогда получаем уравнение , корнями которого являются

Сделаем обратную замену:

или – уравнение не имеет решений.

Ответ:

.

Пример 6. Решить уравнение

.

Решение. Приведем все степени к одному основанию:

.

откуда получаем уравнение

которое равносильно уравнению:

Ответ:

Иррациональные логарифмические уравнения

Пример 7. Решить уравнение

.

Решение. Преобразуем данное уравнение:

.

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Уравнение этой системы равносильно совокупности уравнений: