Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 18 из 21)
8. Введем новые переменные
и 
. Тогда исходное уравнение принимает вид: 
. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства , в третью степень и заметим, что 
. Итак, надо решить систему уравнений 
она имеет два (действительных) решения: 
, 
; 
, 
. Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным 
и систему 
первая из них дает 
, вторая дает 
. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: , .Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №2
1. Б.
2. В.
3. Г.
4. Уединив первый радикал, получаем уравнение
, равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение 
, 
. Последнее уравнение равносильно системе 
Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни 
и 
. Оба корня удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются корнями исходного уравнения. В ответе нужно указать произведение корней. Ответ: 48.5. Введем новую переменную
, тогда 
, причем 
. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного 
, откуда учитывая ограничение , получаем 
. Решая уравнение 
, получаем корень 
. Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: .6. Введем новую переменную
. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид 
Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни 
и 
. Первый корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение 
, получаем корни 
и 
. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольший из корней. Ответ: 
.7. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
и 
Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы: 
Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни 
и 
. Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Решение второй системы: 
Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни 
и 
. Оба корня не удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются посторонними корнями исходного уравнения. Ответ: .8. Введем новые переменные
и 
. Тогда исходное уравнение принимает вид: 
. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства 
, в четвертую степень и заметим, что 
. Итак, надо решить систему уравнений 
она имеет два (действительных) решения: 
, 
; 
, 
. Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным 
и систему 
первая из них дает 
, вторая дает 
. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: , .